3.10 O balăo de hélio descrito no Prob. 3.8 é solto na atmosfera e atinge uma altura de 5.000 m . Sabendo que neste local a pressão ambiente vale 50 kPa e a temperatura é igual a -20^{\circ} \mathrm{C}, calcule o diâmetro do balão.

Passo 1

O enunciado atual diz o seguinte:
  • O balão de hélio descrito no Prob. 3.8 é solto e atinge a altura de 5{,}000\\ \mathrm{m}.
  • A pressão ambiente nesse local vale 50\\ \mathrm{kPa}.
  • A temperatura nesse local é -20^\circ\mathrm{C}.
  • Pede-se para calcular o diâmetro do balão.
Informações que faltam (essas estavam — provavelmente — no Problema 3.8 e são necessárias para obter uma resposta numérica):
  • O valor da massa total que o balão deve sustentar, isto é, a massa do envelope do balão mais a massa da carga/utilizador (chamo isso de m_s): \,m_s = m_{\text{envelope}} + m_{\text{carga}}.
  • Ou, alternativamente, a quantidade de gás (em mols ou massa) inicialmente colocada no balão.
    Sem saber m_s (ou equivalente), não é possível obter um diâmetro numérico único a partir dos dados fornecidos aqui.
Além disso, para resolver preciso assumir (e vou explicitar estas hipóteses):
  • O balão é aproximadamente esférico (para relacionar volume e diâmetro).
  • A pressão do gás dentro do balão é igual à pressão ambiente (balão flexível em equilíbrio).
  • O hélio e o ar se comportam como gases ideais à condição dada (pressão e temperatura).
  • Valores que usarei como constantes: constante dos gases R, massa molar do ar e do hélio (vou indicar valores numéricos padrão).

Passo 2

Princípio físico básico (empuxo de Arquimedes): o balão flutua quando o empuxo para cima iguala o peso total para baixo. Escrevendo isso em forma de equação:
\text{Empuxo} = \text{Peso total}.
Empuxo = peso do volume de ar deslocado = \rho_{\text{ar}}\,V\,g.
Peso total = peso do envelope + carga + peso do gás dentro do balão = (m_s + m_{\text{He}})\,g.
Igualando e cancelando g:
\rho_{\text{ar}}\,V = m_s + m_{\text{He}}.
Aqui:
  • \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar no nível onde o balão está (a 5{,}000\\ \mathrm{m}),
  • V é o volume do balão,
  • m_s é a massa do envelope + carga (valor que falta do Prob. 3.8),
  • m_{\text{He}} é a massa do hélio contido no volume V.

Passo 3

Expressar a massa do hélio em função do volume usando a densidade do hélio:
m_{\text{He}} = \rho_{\text{He}}\,V.
Substituindo em \rho_{\text{ar}}\,V = m_s + m_{\text{He}} obtemos:
\rho_{\text{ar}}\,V = m_s + \rho_{\text{He}}\,V.
Isolando V:
(\rho_{\text{ar}} - \rho_{\text{He}})\,V = m_s \qquad\Rightarrow\qquad V = \frac{m_s}{\rho_{\text{ar}} - \rho_{\text{He}}}.
Esta fórmula tem sentido físico claro: o volume necessário depende da diferença de densidades entre ar e hélio (quanto maior essa diferença, menor o volume necessário para suportar a mesma massa).

Passo 4

Usar a equação dos gases ideais para escrever as densidades como função da pressão e temperatura. Para um gás ideal:
\rho = \frac{P M}{R T},
onde:
  • P é a pressão absoluta (Pa),
  • M é a massa molar do gás (kg/mol),
  • R é a constante universal dos gases ( R \approx 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta (K).
Aplicando a ambos os gases (ar e hélio) e assumindo a mesma pressão P e temperatura T dentro/fora do balão:
\rho_{\text{ar}} = \frac{P M_{\text{ar}}}{R T},\qquad \rho_{\text{He}} = \frac{P M_{\text{He}}}{R T}.
Então a diferença de densidades é
\rho_{\text{ar}} - \rho_{\text{He}} = \frac{P\,(M_{\text{ar}} - M_{\text{He}})}{R T}.

Passo 5

Substituindo essa expressão em V = \dfrac{m_s}{\rho_{\text{ar}} - \rho_{\text{He}}} resulta numa fórmula explícita para o volume em termos de m_s, P, T e massas molares:
V = \frac{m_s}{\rho_{\text{ar}} - \rho_{\text{He}}} = \frac{m_s}{\dfrac{P\,(M_{\text{ar}} - M_{\text{He}})}{R T}} = \frac{m_s\,R T}{P\,(M_{\text{ar}} - M_{\text{He}})}.
Esta é uma expressão muito útil: o volume requerido cresce linearmente com m_s e com T, e decresce com P e com a diferença de massas molares.

Passo 6

Relacionar o volume com o diâmetro assumindo balão esférico. Volume de uma esfera de diâmetro D é
V = \frac{\pi}{6}\,D^{3}.
Desse modo, isolando D:
D = \left(\frac{6V}{\pi}\right)^{1/3}.

Passo 7

Combinar as últimas duas fórmulas para obter D em função de m_s, P, T e massas molares:
D \;=\; \left(\frac{6}{\pi}\cdot \frac{m_s\,R T}{P\,(M_{\text{ar}} - M_{\text{He}})}\right)^{1/3}.
Este é o resultado simbólico final: com ele, ao inserir m_s (valor do Problema 3.8) e os dados do enunciado, obtém-se o diâmetro numérico.

Passo 8

Agora uso os valores numéricos conhecidos e os dados do enunciado para simplificar a expressão (ainda deixa m_s como incógnita porque é o que falta):
  • P = 50\\ \mathrm{kPa} = 5{,}0\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (peguei este valor do enunciado).
  • T = -20^\circ\mathrm{C} = 253{,}15\\ \mathrm{K} (convertendo: T = -20 + 273{,}15; peguei -20^\circ\mathrm{C} do enunciado).
  • R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} (constante universal).
  • Massa molar do ar (ar seco médio): M_{\text{ar}} \approx 0{,}02897\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Massa molar do hélio: M_{\text{He}} \approx 0{,}004003\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
Calculo intermediário (substituindo esses valores) leva a uma forma numérica prática:
D \approx \left(3{,}221\;m_s\right)^{1/3}\\ \mathrm{m}
ou, escrevendo como coeficiente multiplicativo,
D \approx 1{,}48\; m_s^{1/3}\\ \mathrm{m},
onde m_s está em quilogramas. (Resumo dos passos numéricos usados para obter esse coeficiente: calculei R T/(P(M_{\text{ar}}-M_{\text{He}})) e depois multiplique por 6/\pi, tomando a raiz cúbica.)
Exemplos ilustrativos (apenas para ver a escala; estes exigem que se saiba m_s):
  • Se m_s = 2{,}0\\ \mathrm{kg} então D \approx 1{,}48\cdot 2^{1/3}\approx 1{,}86\\ \mathrm{m}.
  • Se m_s = 10{,}0\\ \mathrm{kg} então D \approx 1{,}48\cdot 10^{1/3}\approx 3{,}18\\ \mathrm{m}.

Resposta

Não é possível calcular numericamente o diâmetro porque falta o valor da massa total que o balão deve sustentar (massa do envelope + carga) fornecido no Prob. 3.8.
O diâmetro, em função dessa massa m_s (em kg), é
D \;=\; \left(\frac{6\,m_s\,R\,T}{\pi\,P\,(M_{\text{ar}}-M_{\text{He}})}\right)^{1/3} \approx 1{,}48\; m_s^{1/3}\\ \mathrm{m}.

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