3.10 O balăo de hélio descrito no Prob. 3.8 é solto na atmosfera e atinge uma altura de 5.000 m . Sabendo que neste local a pressão ambiente vale 50 kPa e a temperatura é igual a
, calcule o diâmetro do balão.
Passo 1
O enunciado atual diz o seguinte:
- O balão de hélio descrito no Prob. 3.8 é solto e atinge a altura de
. - A pressão ambiente nesse local vale
. - A temperatura nesse local é
. - Pede-se para calcular o diâmetro do balão.
Informações que faltam (essas estavam — provavelmente — no Problema 3.8 e são necessárias para obter uma resposta numérica):
- O valor da massa total que o balão deve sustentar, isto é, a massa do envelope do balão mais a massa da carga/utilizador (chamo isso de
): . - Ou, alternativamente, a quantidade de gás (em mols ou massa) inicialmente colocada no balão.
Sem saber(ou equivalente), não é possível obter um diâmetro numérico único a partir dos dados fornecidos aqui.
Além disso, para resolver preciso assumir (e vou explicitar estas hipóteses):
- O balão é aproximadamente esférico (para relacionar volume e diâmetro).
- A pressão do gás dentro do balão é igual à pressão ambiente (balão flexível em equilíbrio).
- O hélio e o ar se comportam como gases ideais à condição dada (pressão e temperatura).
- Valores que usarei como constantes: constante dos gases
, massa molar do ar e do hélio (vou indicar valores numéricos padrão).
Passo 2
Princípio físico básico (empuxo de Arquimedes): o balão flutua quando o empuxo para cima iguala o peso total para baixo. Escrevendo isso em forma de equação:
Empuxo = peso do volume de ar deslocado =
.
Peso total = peso do envelope + carga + peso do gás dentro do balão = .
Peso total = peso do envelope + carga + peso do gás dentro do balão =
Igualando e cancelando
:
Aqui:
-
é a densidade do ar no nível onde o balão está (a ), -
é o volume do balão, -
é a massa do envelope + carga (valor que falta do Prob. 3.8), -
é a massa do hélio contido no volume .
Passo 3
Expressar a massa do hélio em função do volume usando a densidade do hélio:
Substituindo em
obtemos:
Isolando
:
Esta fórmula tem sentido físico claro: o volume necessário depende da diferença de densidades entre ar e hélio (quanto maior essa diferença, menor o volume necessário para suportar a mesma massa).
Passo 4
Usar a equação dos gases ideais para escrever as densidades como função da pressão e temperatura. Para um gás ideal:
onde:
-
é a pressão absoluta (Pa), -
é a massa molar do gás (kg/mol), -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura absoluta (K).
Aplicando a ambos os gases (ar e hélio) e assumindo a mesma pressão
e temperatura
dentro/fora do balão:
Então a diferença de densidades é
Passo 5
Substituindo essa expressão em
resulta numa fórmula explícita para o volume em termos de
,
,
e massas molares:
Esta é uma expressão muito útil: o volume requerido cresce linearmente com
e com
, e decresce com
e com a diferença de massas molares.
Passo 6
Relacionar o volume com o diâmetro assumindo balão esférico. Volume de uma esfera de diâmetro
é
Desse modo, isolando
:
Passo 7
Combinar as últimas duas fórmulas para obter
em função de
,
,
e massas molares:
Este é o resultado simbólico final: com ele, ao inserir
(valor do Problema 3.8) e os dados do enunciado, obtém-se o diâmetro numérico.
Passo 8
Agora uso os valores numéricos conhecidos e os dados do enunciado para simplificar a expressão (ainda deixa
como incógnita porque é o que falta):
-
(peguei este valor do enunciado). -
(convertendo: ; peguei do enunciado). -
(constante universal). - Massa molar do ar (ar seco médio):
. - Massa molar do hélio:
.
Calculo intermediário (substituindo esses valores) leva a uma forma numérica prática:
ou, escrevendo como coeficiente multiplicativo,
onde
está em quilogramas. (Resumo dos passos numéricos usados para obter esse coeficiente: calculei
e depois multiplique por
, tomando a raiz cúbica.)
Exemplos ilustrativos (apenas para ver a escala; estes exigem que se saiba
):
- Se
então . - Se
então .
Resposta
Não é possível calcular numericamente o diâmetro porque falta o valor da massa total que o balão deve sustentar (massa do envelope + carga) fornecido no Prob. 3.8.
O diâmetro, em função dessa massa (em kg), é
O diâmetro, em função dessa massa