Uma onda eletromagnética propagando-se no sentido do eixo z positivo possui as componentes do campo elétrico dadas pelas seguintes expressões:
\begin{aligned} & E_{x}=A \cdot \cos \left(k \cdot z-\omega \cdot t+\frac{\pi}{6}\right) \\\ & E_{y}=B \cdot \operatorname{sen}\left(k \cdot z-\omega \cdot t+\frac{5}{6} \cdot \pi\right) \end{aligned}
onde A \neq B.
(a) Descreva completamente o estado de polarização dessa onda eletromagnética.
(b) Calcule o vetor de Poynting.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei estes dados do enunciado).
  • Componentes do campo elétrico de uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo z: \begin{aligned} & E_x = A \cdot \cos\!\bigl(kz-\omega t+\tfrac{\pi}{6}\bigr),\\[4pt] & E_y = B \cdot \sin\!\bigl(kz-\omega t+\tfrac{5\pi}{6}\bigr), \end{aligned}com A\neq B. (Aqui A e B são as amplitudes dadas no enunciado.)
  • O que se pede:
    (a) descrever completamente o estado de polarização da onda;
    (b) calcular o vetor de Poynting (instantâneo e valor médio temporal, se for útil).]

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar ambas as componentes com a mesma função trigonométrica (por exemplo, cosseno) para extrair a diferença de fase entre as componentes. Defina \psi = kz-\omega t. Temos
E_x = A\cos\!\bigl(\psi+\tfrac{\pi}{6}\bigr).
Transforme E_y usando \sin\theta=\cos(\theta-\tfrac{\pi}{2}):
E_y = B\sin\!\bigl(\psi+\tfrac{5\pi}{6}\bigr) = B\cos\!\bigl(\psi+\tfrac{5\pi}{6}-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = B\cos\!\bigl(\psi+\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Portanto, escrevendo as fases efetivas:
E_x = A\cos\!\bigl(\psi+\phi_x\bigr)\quad\text{com}\quad \phi_x=\tfrac{\pi}{6},
E_y = B\cos\!\bigl(\psi+\phi_y\bigr)\quad\text{com}\quad \phi_y=\tfrac{\pi}{3}.
A diferença de fase entre E_y e E_x é
\delta=\phi_y-\phi_x=\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6}.

Passo 3

Determinar o tipo de polarização a partir de critérios simples:
  • polarização linear se \delta=0 ou \delta=\pi (as componentes estão em fase ou em oposição de fase);
  • polarização circular se |A|=|B| e |\delta|=\tfrac{\pi}{2} (amplitudes iguais e defasagem \pm 90^\circ);
  • caso geral (amplitudes diferentes e \delta não 0 nem \pi) → polarização elíptica.
Aqui \delta=\tfrac{\pi}{6}\neq 0,\pi e A\neq B. Logo a polarização é elíptica (nem linear nem circular). Agora vamos caracterizar essa elipse (equação, orientação e sentido de rotação).

Passo 4

Derivar a equação da elipse de polarização (eliminação do parâmetro \psi). Defina as variáveis normalizadas
X=\frac{E_x}{A}=\cos(\psi+\phi_x),\qquad Y=\frac{E_y}{B}=\cos(\psi+\phi_x+\delta).
Usando a identidade \cos(\theta+\delta)=\cos\theta\cos\delta-\sin\theta\sin\delta com \theta=\psi+\phi_x, obtemos
Y=\cos\delta\;X-\sin\delta\;\sin\theta.
Isolando \sin\theta e usando \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 resulta em
\frac{(\cos\delta\;X - Y)^2}{\sin^2\delta} + X^2 = 1.
Agora substitua X=E_x/A e Y=E_y/B. Como aqui \delta=\tfrac{\pi}{6}, \cos\delta=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\delta=\tfrac{1}{2}. Substituindo esses valores dá uma forma simples:
\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\frac{E_x}{A}-\frac{E_y}{B}\Bigr)^2 + \tfrac{1}{4}\Bigl(\frac{E_x}{A}\Bigr)^2 = \tfrac{1}{4}.
Multiplicando e rearranjando (para escrever de modo mais direto) obtemos a equação da elipse:
\frac{E_x^2}{A^2} - \frac{\sqrt{3}}{A B}\,E_x E_y + \frac{E_y^2}{B^2} = \tfrac{1}{4}.
Esta é a equação da elipse de polarização no plano (E_x,E_y). Conclusão: a onda é polarizada elipticamente e a equação explícita da elipse é a dada acima.

Passo 5

Determinar a orientação da elipse (ângulo dos eixos principais) de forma curta e didática. Para uma cônica da forma
aE_x^2 + bE_xE_y + cE_y^2 = \text{const},
o ângulo \theta de rotação dos eixos principais satisfaz
\tan(2\theta)=\frac{b}{a-c}.
No nosso caso, se escrevermos os coeficientes normalizados em termos de X=E_x/A,\;Y=E_y/B obtemos a=c=1 e b=-\sqrt{3}, então a-c=0 e, portanto, \tan(2\theta) é infinito: isto implica 2\theta=\tfrac{\pi}{2} ou \theta=\tfrac{\pi}{4} no sistema de coordenadas (X,Y). Em termos das componentes originais E_x,E_y isso significa que os eixos principais da elipse estão inclinados em relação aos eixos x,y; a fórmula completa para \theta em função de A e B é
\theta=\tfrac{1}{2}\arctan\!\Bigl(\!-\sqrt{3}\,\frac{AB}{B^2-A^2}\Bigr),
mas o importante para a prova é saber que a polarização é elíptica, com orientação dependente de A e B e com a equação da elipse dada no passo anterior.

Passo 6

Determinar o sentido de rotação (mão) do vetor \mathbf{E} no plano xy em um ponto fixo (fixo z) quando o tempo aumenta. É simples inspecionar o movimento em z=0. Então \psi=-\omega t e
E_x(t)=A\cos(\!- \omega t+\tfrac{\pi}{6}),\qquad E_y(t)=B\cos(\!- \omega t+\tfrac{\pi}{3}).
Avalie as derivadas em t=0 para ver a direção inicial do movimento. Em t=0:
E_x(0)=A\cos\tfrac{\pi}{6}=A\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad E_y(0)=B\cos\tfrac{\pi}{3}=B\frac{1}{2}.
As derivadas temporais são
\dot E_x(0)= -\!(-\omega)A\sin(\!- \omega t+\tfrac{\pi}{6})\big|_{t=0}=+A\omega\sin\tfrac{\pi}{6}>0,
\dot E_y(0)=+B\omega\sin\tfrac{\pi}{3}>0.
Calculando o sinal de d\theta/dt (com \theta=\arctan(E_y/E_x)) obtém-se d\theta/dt>0. Isso significa que, num ponto fixo, o vetor \mathbf{E} gira no sentido anti-horário (sentido positivo) no plano xy quando o tempo aumenta. Em palavras: a elipse é percorrida no sentido anti-horário com o tempo.

Passo 7

Agora vamos ao vetor de Poynting. Para uma onda plana eletromagnética no vácuo que se propaga na direção +\hat z, a relação entre \mathbf{E} e o campo magnético \mathbf{B} (campo magnético real) é
\mathbf{B}=\frac{1}{c}\,\hat z\times\mathbf{E}.
Explicando rapidamente: em ondas planas em vácuo, \mathbf{B} é perpendicular a \mathbf{E} e à direção de propagação \hat z, e tem magnitude |\mathbf{B}|=|\mathbf{E}|/c.
Aplicando a operação vetorial:
\hat z\times\bigl(E_x\hat x+E_y\hat y\bigr)=E_x(\hat z\times\hat x)+E_y(\hat z\times\hat y)=E_x\hat y - E_y\hat x.
Logo
\mathbf{B}=\frac{1}{c}\bigl(-E_y\hat x + E_x\hat y\bigr).

Passo 8

O vetor de Poynting instantâneo é
\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}.
Calcule \mathbf{E}\times\mathbf{B}:
\mathbf{E}\times\mathbf{B} = \bigl(E_x\hat x+E_y\hat y\bigr)\times\frac{1}{c}\bigl(-E_y\hat x+E_x\hat y\bigr) = \frac{1}{c}\bigl(E_x E_x + E_y E_y\bigr)\hat z = \frac{E_x^2+E_y^2}{c}\,\hat z.
Portanto
\mathbf{S}(z,t)=\frac{1}{\mu_0}\frac{E_x^2+E_y^2}{c}\,\hat z = \varepsilon_0 c\bigl(E_x^2+E_y^2\bigr)\,\hat z,
onde usei \varepsilon_0 c = 1/(\mu_0 c) (já que c^2=1/(\mu_0\varepsilon_0)). Substituindo as expressões de E_x e E_y temos a forma instantânea explícita:
\mathbf{S}(z,t)=\varepsilon_0 c\Bigl[A^2\cos^2\!\bigl(\psi+\tfrac{\pi}{6}\bigr) + B^2\cos^2\!\bigl(\psi+\tfrac{\pi}{3}\bigr)\Bigr]\hat z.

Passo 9

Valor médio temporal (média sobre um período) do vetor de Poynting: como \langle\cos^2(\cdot)\rangle = \tfrac{1}{2},
\langle\mathbf{S}\rangle = \varepsilon_0 c\Bigl(\tfrac{A^2}{2}+\tfrac{B^2}{2}\Bigr)\hat z = \frac{\varepsilon_0 c}{2}\bigl(A^2+B^2\bigr)\,\hat z.
Isto mostra que a energia transportada, em média, vai na direção +\hat z (direção de propagação), com intensidade proporcional a A^2+B^2.

Resposta

(a) Polarização elíptica (não linear nem circular). A diferença de fase é \delta=\tfrac{\pi}{6} e a equação da elipse no plano (E_x,E_y) é
\frac{E_x^2}{A^2} - \frac{\sqrt{3}}{A B}\,E_x E_y + \frac{E_y^2}{B^2} = \tfrac{1}{4}.
O vetor \mathbf{E} percorre a elipse no sentido anti-horário quando o tempo aumenta (num ponto fixo z).\n
(b) Vetor de Poynting instantâneo:
\mathbf{S}(z,t)=\varepsilon_0 c\Bigl[A^2\cos^2\!\bigl(kz-\omega t+\tfrac{\pi}{6}\bigr) + B^2\cos^2\!\bigl(kz-\omega t+\tfrac{\pi}{3}\bigr)\Bigr]\hat z.
Valor médio temporal:
\langle\mathbf{S}\rangle=\frac{\varepsilon_0 c}{2}\bigl(A^2+B^2\bigr)\,\hat z.

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