(10) Calcule a área de parte da superfície S da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 que está acima do cone z = raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da parte da superfície da esfera que está acima do cone . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração sobre superfícies. Precisaremos entender como parametrizar a esfera e o cone, além de aplicar coordenadas esféricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a interação entre a esfera e o cone. A esfera é dada por e o cone por . Para encontrar a região de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo na equação da esfera:
Isso indica que a interseção ocorre quando , ou seja, em um círculo de raio no plano .

Passo 3

Para calcular a área da superfície acima do cone, podemos usar coordenadas esféricas, que são mais adequadas para essa geometria. As coordenadas esféricas são definidas por:
Onde é o raio, é o ângulo polar (com o eixo z) e é o ângulo azimutal.
Como estamos lidando com a esfera de raio 1 ( ), as equações ficam:

Passo 4

A área diferencial em coordenadas esféricas é dada por:
Como , simplifica-se para:
Queremos integrar essa expressão sobre os limites que correspondem à região acima do cone. A condição em coordenadas esféricas fica:
Isso implica que . Portanto, os limites de vão de 0 a , e varia de 0 a .

Passo 5

Agora, configuramos a integral para a área :
Primeiro, integramos em relação a :
Em seguida, integramos em relação a :
Simplificando:

Resposta

A área da parte da superfície da esfera acima do cone é .

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