(10) Calcule a área de parte da superfície da esfera que está acima do cone .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da parte da superfície da esfera que está acima do cone . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração sobre superfícies. Precisaremos entender como parametrizar a esfera e o cone, além de aplicar coordenadas esféricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a interação entre a esfera e o cone. A esfera é dada por e o cone por . Para encontrar a região de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo na equação da esfera:
Isso indica que a interseção ocorre quando , ou seja, em um círculo de raio no plano .
Passo 3
Para calcular a área da superfície acima do cone, podemos usar coordenadas esféricas, que são mais adequadas para essa geometria. As coordenadas esféricas são definidas por:
Onde é o raio, é o ângulo polar (com o eixo z) e é o ângulo azimutal.
Como estamos lidando com a esfera de raio 1 (), as equações ficam:
Passo 4
A área diferencial em coordenadas esféricas é dada por:
Como , simplifica-se para:
Queremos integrar essa expressão sobre os limites que correspondem à região acima do cone. A condição em coordenadas esféricas fica:
Isso implica que . Portanto, os limites de vão de 0 a , e varia de 0 a .
Passo 5
Agora, configuramos a integral para a área :
Primeiro, integramos em relação a :
Em seguida, integramos em relação a :
Simplificando:
Resposta
A área da parte da superfície da esfera acima do cone é .