Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
© sumk=1^n k^3=[n(n+1)2]^2=n^2(n^2+2 n+1)4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos provar, usando o Princípio de Indução Matemática, que a soma dos cubos dos primeiros sumk=1^n k^3 = [n(n+1)2]^2 números naturais é igual ao quadrado da soma dos primeiros números naturais. A expressão matemática que vamos demonstrar é:
Para isso, vamos precisar conhecer o Princípio de Indução Matemática e saber aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Caso Base: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para sumk=1^1 k^3 = 1^3 = 1 .
Calculando cada lado da equação para [1(1+1)2]^2 = [22]^2 = 1^2 = 1 :
Lado esquerdo (soma dos cubos):
Lado direito:
Como ambos os lados são iguais para , o caso base está validado.

Passo 3

Hipótese de Indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural sumi=1^k i^3 = [k(k+1)2]^2 . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é a base para provar que a afirmação também vale para .

Passo 4

Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para sumi=1^k+1 i^3 = [(k+1)(k+2)2]^2 :
sumi=1^k+1 i^3 = (sumi=1^k i^3) + (k+1)^3
Começamos expandindo a soma:
= [k(k+1)2]^2 + (k+1)^3
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 5

Vamos fatorar = (k+1)^2 [k^24 + (k+1)] :
= (k+1)^2 [k^2 + 4k + 44] = (k+1)^2 [(k+2)^24]
Simplificando dentro dos colchetes:
= [(k+1)(k+2)2]^2
Isso nos dá:

Resposta

Assim, demonstramos que se a afirmação é verdadeira para sumk=1^n k^3 = [n(n+1)2]^2 , ela também é verdadeira para . Como validamos o caso base e a hipótese de indução, por Indução Matemática, concluímos que:
é verdadeira para todo número natural .

Exercícios relacionados