Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos provar, usando o Princípio de Indução Matemática, que a soma dos cubos dos primeiros
números naturais é igual ao quadrado da soma dos
primeiros números naturais. A expressão matemática que vamos demonstrar é:
Para isso, vamos precisar conhecer o Princípio de Indução Matemática e saber aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Caso Base: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando cada lado da equação para
:
Lado esquerdo (soma dos cubos):
Lado direito:
Como ambos os lados são iguais para
, o caso base está validado.
Passo 3
Hipótese de Indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é a base para provar que a afirmação também vale para
.
Passo 4
Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para
:
Começamos expandindo a soma:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Passo 5
Vamos fatorar
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Isso nos dá:
Resposta
Assim, demonstramos que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
. Como validamos o caso base e a hipótese de indução, por Indução Matemática, concluímos que:
é verdadeira para todo número natural
.