Classifique a sequência em crecente ou descrescente, determine se a mesma é limitada, calcule seu limite da sequência ou mostre que ela é divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma sequência específica:
. A gente precisa descobrir se essa sequência está crescendo ou decrescendo, se ela é limitada (ou seja, tem um valor máximo e mínimo que não ultrapassa), e qual é o limite dessa sequência quando ela vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências geométricas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência. Observando os termos, percebemos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por
. Então, essa é uma sequência geométrica com razão
.
Passo 3
Agora, vamos ver se a sequência está crescendo ou decrescendo. Como a razão
é negativa (
), a sequência alterna o sinal dos termos: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Além disso, o valor absoluto de
é menor que 1 (
), o que significa que os termos estão diminuindo em valor absoluto. Mas como os sinais alternam, a sequência não é nem crescente nem decrescente de forma geral.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se a sequência é limitada. Como a razão em valor absoluto é menor que 1, os termos da sequência ficam cada vez menores em magnitude. O primeiro termo é 1, e todos os outros termos têm valor absoluto menor que 1. Portanto, a sequência está limitada. O limite superior é 1 e o limite inferior é -1.
Passo 5
Por último, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito. Para uma sequência geométrica com
, o limite é 0. Isso porque, conforme
aumenta, os termos ficam cada vez menores e se aproximam de zero. Então:
Resposta
A sequência não é nem crescente nem decrescente. Ela é limitada entre -1 e 1, e o limite da sequência quando
tende ao infinito é 0.