Classifique a sequência em crecente ou descrescente, determine se a mesma é limitada, calcule seu limite da sequência ou mostre que ela é divergente.
f) {1, -3/5, 9/25, -27/125, 81/625, ...}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma sequência específica: . A gente precisa descobrir se essa sequência está crescendo ou decrescendo, se ela é limitada (ou seja, tem um valor máximo e mínimo que não ultrapassa), e qual é o limite dessa sequência quando ela vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências geométricas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência. Observando os termos, percebemos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por . Então, essa é uma sequência geométrica com razão .

Passo 3

Agora, vamos ver se a sequência está crescendo ou decrescendo. Como a razão é negativa ( ), a sequência alterna o sinal dos termos: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Além disso, o valor absoluto de é menor que 1 ( ), o que significa que os termos estão diminuindo em valor absoluto. Mas como os sinais alternam, a sequência não é nem crescente nem decrescente de forma geral.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se a sequência é limitada. Como a razão em valor absoluto é menor que 1, os termos da sequência ficam cada vez menores em magnitude. O primeiro termo é 1, e todos os outros termos têm valor absoluto menor que 1. Portanto, a sequência está limitada. O limite superior é 1 e o limite inferior é -1.

Passo 5

Por último, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito. Para uma sequência geométrica com , o limite é 0. Isso porque, conforme aumenta, os termos ficam cada vez menores e se aproximam de zero. Então:

Resposta

A sequência não é nem crescente nem decrescente. Ela é limitada entre -1 e 1, e o limite da sequência quando tende ao infinito é 0.

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