10- Calcule o montante de uma aplicação de \mathrm{R} \ 5.000,00 , à taxa deà2,5 %$ ao mês, durante 2 anos.

Passo 1

O enunciado pede o montante de uma aplicação. Vou listar o que foi dado e o que exatamente pedem.
  • Capital (valor aplicado): P=\mathrm{R}\$\\\ 5{.}000{,}00.
  • Taxa: 2{,}5\% ao mês.
  • Tempo: 2 anos.
  • Pergunta: calcular o montante (valor futuro) ao final de 2 anos.
Informações úteis que extraio do enunciado:
  • A taxa é dada por período mensal, então o número de períodos será em meses.
  • Será usado juro composto (não foi dito juro simples, e normalmente aplicações mensais usam composto).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (juro composto):
M = P(1+i)^{n}
onde:
  • M é o montante (valor final) que queremos.
  • P é o capital inicial (a aplicação).
  • i é a taxa por período (em forma decimal).
  • n é o número total de períodos.
Explicação da fórmula (rápida e intuitiva): a cada período o capital é multiplicado por (1+i). Depois de n períodos multiplicamos P por (1+i) repetidamente n vezes, o que dá P(1+i)^n.

Passo 3

Converto os dados para usar na fórmula:
  • P=\mathrm{R}\$\\\ 5{.}000{,}00.
  • A taxa mensal 2{,}5\% em decimal é i=0{,}025 porque 2{,}5\% = \dfrac{2{,}5}{100}=0{,}025.
  • Tempo: 2 anos = 2\times 12=24 meses, logo n=24.
Portanto:
M = 5000\,(1{,}025)^{24}.

Passo 4

Como calcular (1{,}025)^{24} sem pular etapas:
  • Uma estratégia prática é calcular passo a passo por elevações sucessivas ou multiplicações iteradas. Aqui faço multiplicações sucessivas por 1{,}025 (cada mês) e mantenho várias casas decimais para não perder a precisão necessária para centavos.
Multiplicando mês a mês (mostro alguns marcos importantes, os valores escritos com muitas casas decimais são exatos no formato decimal resultante da multiplicação exata por 1{,}025):
  • (1{,}025)^1 = 1{,}025.
  • (1{,}025)^2 = 1{,}050625.
  • (1{,}025)^3 = 1{,}076890625.
  • (1{,}025)^4 = 1{,}103812890625.
  • (1{,}025)^6 = 1{,}159693418212890625 (obtido multiplicando sucessivamente).
  • Depois de continuar as multiplicações mês a mês chega-se a
(1{,}025)^{12} = 1{,}344888824246298949678134918212890625.
  • E então elevando ao quadrado (porque (1{,}025)^{24} = \big((1{,}025)^{12}\big)^{2}) obtemos
(1{,}025)^{24} = 1{,}808725949582591695353\ldots
(essas casas decimais são o resultado da multiplicação exata com precisão suficiente para centavos).

Passo 5

Agora calculo o montante multiplicando pelo capital:
M = 5000 \times 1{,}808725949582591695353\ldots
M \approx 9043{,}629747912958476765\ldots
Arredondando para centavos (regra usual: duas casas decimais), o montante final é
M \approx \mathrm{R}\$\\\ 9{.}043{,}63.

Passo 6

Pequeno comentário de verificação (para me dar segurança): se fosse juro simples com 2{,}5\%\times 24=60\% teríamos 5000\times(1+0{,}60)=\mathrm{R}\$\\\ 8{.}000{,}00. Como o juro é composto, o montante é maior que \mathrm{R}\$\\\ 8{.}000{,}00, e o valor obtido \mathrm{R}\$\\\ 9{.}043{,}63 faz sentido — está acima do simples devido ao efeito de capitalização mensal.

Resposta

\mathrm{R}\$\\\ 9{.}043{,}63

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