8- Durante quanto tempo foram aplicados \mathrm{R} \ 19.680,00 , que, à taxa deà33,6 % ao ano, renderam\mathrm{R} $9.368,00$ de juro?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Durante quanto tempo foram aplicados \mathrm{R}\$\,19.680,00, que, à taxa de 33,6\% ao ano, renderam \mathrm{R}\$\,9.368,00 de juro?”
Dados fornecidos:
  • Capital (principal): P = \mathrm{R}\$\,19.680,00.
  • Taxa ao ano: 33,6\%.
  • Juro obtido: J = \mathrm{R}\$\,9.368,00.
    Pergunta a responder: determinar o tempo t (em anos) da aplicação que gerou esse juro.

Passo 2

Escolha do método e fórmula básica (explicação didática).
Quando o enunciado só diz que um capital “rendeu” um juro e não menciona capitalização periódica, é padrão usar o juro simples (o mais básico). No juro simples o juro cresce linearmente com o tempo; a fórmula é:
J = P \, i \, t
onde:
  • J é o juro total recebido (em reais);
  • P é o capital inicial (em reais);
  • i é a taxa por período (em forma decimal; por exemplo 33{,}6\% = 0{,}336);
  • t é o tempo de aplicação, medido no mesmo número de períodos da taxa (aqui, anos).
Essa fórmula vem da ideia simples: a cada ano paga-se uma fração i do capital P, logo em t anos paga-se t vezes isso.
Queremos achar t. Isolando t na fórmula:
t = \frac{J}{P\,i}

Passo 3

Converter a taxa percentual em decimal e substituir os valores na fórmula.
A taxa 33{,}6\% em decimal é:
i = 33{,}6\% = 0{,}336.
Substituindo J, P e i na expressão de t:
t = \frac{9.368,00}{19.680,00 \times 0,336}.

Passo 4

Calcular o denominador passo a passo e depois a divisão.
Primeiro calcule P \times i:
19.680,00 \times 0,336 = 6.612,48.
Agora calcule t:
t = \frac{9.368,00}{6.612,48}.
Efetuando a divisão:
t \approx 1,4167\\ \text{anos}.
(Detalhe aritmético rápido: multiplicando numerador e denominador por 100 obtém-se \dfrac{936800}{661248}, que reduz para a fração aproximada que dá o decimal acima.)

Passo 5

Interpretar o resultado em anos e meses (para usar na prova é comum dar meses).
A parte inteira é 1 ano. A parte fracionária é aproximadamente 0,4167 ano. Convertendo para meses:
0,4167 \times 12 \approx 5,0\\ \text{meses}.
Portanto o tempo é aproximadamente 1 ano e 5 meses.

Resposta

t \approx 1,4167\\ \text{anos} \approx 1\\ \text{ano e }5\\ \text{meses}

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