13- Um investidor aplicou \mathrm{R} \ 200.000,00 no dia 06/01/90, à taxa deà27 % ao ano. Em que data esse capital elevar-se-á a R\á 219.500,00?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma data:
  • Capital inicial: P=\mathrm{R}\$\,200{.}000{,}00.
  • Montante desejado: A=\mathrm{R}\$\,219{.}500{,}00.
  • Taxa de juros: i=27\% ao ano, ou seja i=0{,}27 (por ano).
  • Data da aplicação: 06/01/1990.
Pergunta: em que data o capital chegará a A=\mathrm{R}\$\,219{.}500{,}00?

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivo).
  • O enunciado não especifica se os juros são simples ou compostos. Em problemas básicos de investimento, o método mais elementar é o de juros simples; como a instrução pediu usar o método mais básico quando há ambiguidade, vou resolver com juros simples.
  • Aviso útil (para a prova): se o enunciado dissesse explicitamente “capitalizar” ou “juros compostos”, usar-se-ia a fórmula composta. Aqui uso juros simples por ser a hipótese mais direta e por ser ensinada antes.
  • Também preciso escolher quantos dias tem o ano para converter anos em dias; vou adotar o calendário civil comum com 365 dias por ano (não é ano bissexto em 1990). Se a convenção bancária pedisse ano comercial 360 dias, o resultado mudaria um pouco — na prova, observe qual convenção o professor pede; aqui uso 365.

Passo 3

Fórmula de juros simples (aula rápida).
  • A fórmula do montante A no regime de juros simples é
A = P\,(1 + i\,t),
onde:
  • A é o montante final (valor com juros),
  • P é o capital inicial (principal),
  • i é a taxa de juros por unidade de tempo (aqui por ano),
  • t é o tempo decorrido, em anos.
  • A ideia: juros simples calcula juros apenas sobre o capital inicial, proporcional ao tempo.

Passo 4

Isolar t e substituir os valores.
  • Começo dividindo ambos os lados por P:
\frac{A}{P} = 1 + i\,t.
  • Isolando t:
t = \frac{\dfrac{A}{P}-1}{i}.
  • Calculo de \dfrac{A}{P}:
\frac{A}{P}=\frac{219{.}500}{200{.}000}=1{,}0975.
  • Portanto
t = \frac{1{,}0975-1}{0{,}27}=\frac{0{,}0975}{0{,}27}.
  • Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por 10{.}000 ou fazendo divisões):
t=\frac{0{,}0975}{0{,}27}=\frac{975}{2700}=\frac{13}{36}.
  • Conclusão: t=\dfrac{13}{36} anos.

Passo 5

Transformar t em dias (explicando passo a passo).
  • Usando 1 ano =365 dias:
\text{dias} = 365\cdot t = 365\cdot\frac{13}{36}=\frac{365\cdot13}{36}.
  • Calculo do produto: 365\cdot13=4{.}745.
  • Portanto
\text{dias}=\frac{4{.}745}{36}=131+\frac{29}{36}\approx131{,}8056\\ \text{dias}.
  • Ou seja, o montante é atingido 131{,}8056 dias após 06/01/1990. Isso significa durante o 132.º dia contado a partir de 06/01/1990 (há uma fração de dia, então acontece no decorrer desse dia).

Passo 6

Somar esses dias à data inicial para obter a data final (contagem detalhada).
  • Parto de 06/01/1990.
  • Dias restantes em janeiro (excluindo o dia 06): 31-6=25 dias. Subtraio de 132 (arredondando para o dia inteiro que contém o evento): 132-25=107.
  • Fevereiro/1990 tem 28 dias. Subtraindo: 107-28=79.
  • Março tem 31 dias. Subtraindo: 79-31=48.
  • Abril tem 30 dias. Subtraindo: 48-30=18.
  • Sobraram 18 dias dentro de maio, portanto a data é 18 de maio de 1990.
  • Observação sobre fração de dia: como o instante exato ocorre durante o 132.º dia, a data calendarial correspondente é 18/05/1990 (o horário exato daquele dia dependeria da fração 0{,}8056 de dia, ou seja cerca de 19 horas e 20 minutos after o início do dia).

Passo 7

Verificação rápida (calcular o montante por juros simples com t=\dfrac{13}{36}).
  • Aplicando a fórmula:
A = P\,(1+i\,t)=200{.}000\left(1+0{,}27\cdot\frac{13}{36}\right).
  • Calcular 0{,}27\cdot\frac{13}{36}=\frac{27}{100}\cdot\frac{13}{36}=\frac{351}{3600}=0{,}0975.
  • Logo
A=200{.}000(1+0{,}0975)=200{.}000\cdot1{,}0975=219{.}500,
confirmação exata do valor pedido.

Passo 8

Comentário final sobre alternativa (juros compostos) — toque didático.
  • Se o problema exigisse juros compostos, usar-se-ia \displaystyle A=P(1+i)^n e resolveria n=\dfrac{\ln(A/P)}{\ln(1+i)}. Nesse caso obter-se-ia outro n (maior), e a data mudaria (ficaria um pouco depois). Por isso é importante, na prova, observar se se trata de juros simples ou compostos. Aqui, pelo critério de usar o método mais básico quando não especificado, o resultado com juros simples foi apresentado e verificado.

Resposta

18/05/1990

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