1.10.3 Calcule o trabalho que você realiza para ir de um ponto (1,1) a um ponto (3, 3). A força que você exerce é dada por
\mathbf{F}=\hat{\mathbf{x}}(x-y)+\hat{\mathbf{y}}(x+y)
Especifique claramente o trajeto que escolheu. Note que esse campo de força é não-conservativo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho realizado ao levar uma partícula de (1,1) a (3,3) sob o campo de força
\mathbf{F}(x,y)=\hat{\mathbf{x}}\,(x-y)+\hat{\mathbf{y}}\,(x+y),
sabendo que esse campo é não-conservativo (logo o trabalho depende do caminho). Vamos usar line integral de um campo vetorial em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Escolho um caminho em duas retas ortogonais:
C_{1}: de (1,1) a (3,1) com y=1 constante, parametrizado por
x=t,\quad y=1,\quad t\in[1,3],
e C_{2}: de (3,1) a (3,3) com x=3 constante, parametrizado por
x=3,\quad y=t,\quad t\in[1,3].
Então o trabalho total é
W=\int_{C_1}\mathbf{F}\!\cdot d\mathbf{r}+\int_{C_2}\mathbf{F}\!\cdot d\mathbf{r}.

Passo 3

Em C_{1} temos dx=dt, dy=0 e x-y=t-1. Logo
\int_{C_1}\mathbf{F}\!\cdot d\mathbf{r} =\int_{1}^{3}\bigl(x-y\bigr)\,dx =\int_{1}^{3}(t-1)\,dt =\left[\tfrac{1}{2}(t-1)^{2}\right]_{1}^{3} =2.

Passo 4

Em C_{2} temos dx=0, dy=dt e x+y=3+t. Logo
\int_{C_2}\mathbf{F}\!\cdot d\mathbf{r} =\int_{1}^{3}\bigl(x+y\bigr)\,dy =\int_{1}^{3}(3+t)\,dt =\left[3t+\tfrac{1}{2}t^{2}\right]_{1}^{3} =10.

Passo 5

Somando as duas partes, o trabalho total é
W=2+10=12.

Resposta

O trabalho realizado ao ir de (1,1) a (3,3) pelo trajeto escolhido é 12.

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