3.10 Calcule o valor anual, nos anos 1 a 10 , da seguinte série de receitas e despesas, considerando uma taxa de juros de 10% ao ano.
Ano
Receita, $/Ano
Despesa, $/Ano
0
10.000
2.000
800
200
900
300
| Ano | Receita, $/Ano | Despesa, $/Ano |
| 0 | 10.000 | 2.000 |
|
|
800 | 200 |
|
|
900 | 300 |
Passo 1
O que o enunciado dá e pede, com todas as informações organizadas:
- Taxa de juros anual:
. - Fluxos de receitas e despesas por ano (peguei os valores da tabela do enunciado):
- Ano
: receita e despesa . - Anos
a : receita e despesa (cada ano). - Anos
a : receita e despesa (cada ano).
- Ano
- Pergunta explícita: calcular o “valor anual, nos anos 1 a 10” da série, ou seja, determinar um valor anual uniforme equivalente
(em $/ano) que represente toda a série de fluxos ao longo dos anos a , considerando a taxa de 10% a.a.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o fluxo líquido em cada ano (receita menos despesa), para simplificar a análise.
- No ano
: fluxo líquido (este é um valor no instante 0, não é anual). - Nos anos
a : fluxo líquido em cada ano . - Nos anos
a : fluxo líquido em cada ano .
Observação útil: portanto, os fluxos líquidos são
em cada ano de
a
, e há um único valor de
no ano
.
Passo 3
Agora vamos transformar esses fluxos em um único valor anual equivalente
para o período de 10 anos. Vou explicar a ideia e as fórmulas usadas de forma didática.
- Conceito: o valor anual equivalente
é um valor constante por ano (nos anos 1 a 10) que tem o mesmo efeito econômico, à taxa , que a série original de fluxos. - Método comum: calcular o valor presente
em de todos os fluxos e depois converter esse em uma série uniforme anual usando o fator de recuperação de capital (capital recovery). - Fórmula do valor presente de uma anuidade ordinária (pagamentos iguais
em anos, começando em ): Aqui é o valor presente no instante 0, é o pagamento anual, é a taxa por período, é o número de períodos. - Fórmula inversa (fator de recuperação de capital) para obter
a partir de : Esse fator converte um montante presente em um pagamento anual equivalente durante anos à taxa .
Passo 4
Calcular o valor presente
em
da série completa:
- O valor no ano
já é , portanto contribui diretamente para . - Os
por ano nos anos a formam uma anuidade ordinária de anos com . O valor presente dessa anuidade é: Vamos calcular esse fator passo a passo:
Logo
- Somando o valor presente do ano 0:
Passo 5
Agora convertemos esse
para o valor anual equivalente
para
anos à taxa
, usando o fator de recuperação:
- O fator de recuperação é
Já calculamos o denominador . Então - Aplicando ao
:
Passo 6
Verificação alternativa (mais intuitiva): podemos pensar em dois componentes separados para o
:
- Os
que já ocorrem uniformemente nos anos 1–10 permanecem como de . - O montante de
(no ano 0) convertido em anualidade para 10 anos dá: - Somando:
que coincide com o resultado do passo anterior. Isso é um ótimo “cheque de sanidade”.
Passo 7
Interpretação final (rápida e motivadora): o conjunto dos fluxos (o
inicial e os
anuais) é equivalente, economicamente, a receber
por ano nos anos
a
à taxa de
a.a. — ou seja, na prova você pode substituir toda a série por essa anuidade uniforme quando comparar alternativas ou calcular equivalentes.