3.10 Calcule o valor anual, nos anos 1 a 10 , da seguinte série de receitas e despesas, considerando uma taxa de juros de 10% ao ano.
Ano Receita, $/Ano Despesa, $/Ano
0 10.000 2.000
1-6 800 200
7-10 900 300

Passo 1

O que o enunciado dá e pede, com todas as informações organizadas:
  • Taxa de juros anual: \;i=10\%.
  • Fluxos de receitas e despesas por ano (peguei os valores da tabela do enunciado):
    • Ano \;0: receita \;10.000 e despesa \;2.000.
    • Anos \;1 a \;6: receita \;800 e despesa \;200 (cada ano).
    • Anos \;7 a \;10: receita \;900 e despesa \;300 (cada ano).
  • Pergunta explícita: calcular o “valor anual, nos anos 1 a 10” da série, ou seja, determinar um valor anual uniforme equivalente \;A (em $/ano) que represente toda a série de fluxos ao longo dos anos \;1 a \;10, considerando a taxa de 10% a.a.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o fluxo líquido em cada ano (receita menos despesa), para simplificar a análise.
  • No ano \;0: fluxo líquido \;10.000-2.000=8.000 (este é um valor no instante 0, não é anual).
  • Nos anos \;1 a \;6: fluxo líquido em cada ano \;800-200=600.
  • Nos anos \;7 a \;10: fluxo líquido em cada ano \;900-300=600.
Observação útil: portanto, os fluxos líquidos são \;600 em cada ano de \;1 a \;10, e há um único valor de \;8.000 no ano \;0.

Passo 3

Agora vamos transformar esses fluxos em um único valor anual equivalente A para o período de 10 anos. Vou explicar a ideia e as fórmulas usadas de forma didática.
  • Conceito: o valor anual equivalente A é um valor constante por ano (nos anos 1 a 10) que tem o mesmo efeito econômico, à taxa i, que a série original de fluxos.
  • Método comum: calcular o valor presente P em t=0 de todos os fluxos e depois converter esse P em uma série uniforme anual A usando o fator de recuperação de capital (capital recovery).
  • Fórmula do valor presente de uma anuidade ordinária (pagamentos iguais A em \;n anos, começando em t=1): P = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.Aqui \;P é o valor presente no instante 0, \;A é o pagamento anual, \;i é a taxa por período, \;n é o número de períodos.
  • Fórmula inversa (fator de recuperação de capital) para obter A a partir de P: A = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.Esse fator \displaystyle\frac{i}{1-(1+i)^{-n}} converte um montante presente P em um pagamento anual equivalente A durante n anos à taxa i.

Passo 4

Calcular o valor presente P em t=0 da série completa:
  • O valor no ano \;0 já é \;8.000, portanto contribui diretamente para P.
  • Os \;600 por ano nos anos \;1 a \;10 formam uma anuidade ordinária de \;n=10 anos com A=600. O valor presente dessa anuidade é: P_{\text{anu}} = 600\cdot\frac{1-(1+0,10)^{-10}}{0,10}.Vamos calcular esse fator passo a passo: (1+0,10)^{10}=1,1^{10}\approx 2,5937424601,
(1+0,10)^{-10}=\frac{1}{1,1^{10}}\approx 0,3855432894,
1-(1+0,10)^{-10}\approx 1-0,3855432894=0,6144567106,
\frac{1-(1+0,10)^{-10}}{0,10}\approx \frac{0,6144567106}{0,10}=6,144567106.
Logo
P_{\text{anu}}=600\cdot 6,144567106\approx 3.686,740263.
  • Somando o valor presente do ano 0: P = 8.000 + P_{\text{anu}} \approx 8.000 + 3.686,740263 = 11.686,740263.

Passo 5

Agora convertemos esse P para o valor anual equivalente A para \;n=10 anos à taxa \;i=10\%, usando o fator de recuperação:
  • O fator de recuperação é \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}=\frac{0,10}{1-(1+0,10)^{-10}}.Já calculamos o denominador 1-(1+0,10)^{-10}\approx 0,6144567106. Então \frac{0,10}{0,6144567106}\approx 0,1628894627.
  • Aplicando ao P: A = P\cdot 0,1628894627 \approx 11.686,740263 \cdot 0,1628894627 \approx 1.903,12.

Passo 6

Verificação alternativa (mais intuitiva): podemos pensar em dois componentes separados para o A:
  • Os \;600 que já ocorrem uniformemente nos anos 1–10 permanecem como \;600 de A.
  • O montante de \;8.000 (no ano 0) convertido em anualidade para 10 anos dá: A_{0}=8.000\cdot\frac{0,10}{1-(1+0,10)^{-10}}\approx 8.000\cdot 0,1628894627\approx 1.303,12.
  • Somando: A = 600 + 1.303,12 = 1.903,12,que coincide com o resultado do passo anterior. Isso é um ótimo “cheque de sanidade”.

Passo 7

Interpretação final (rápida e motivadora): o conjunto dos fluxos (o \;8.000 inicial e os \;600 anuais) é equivalente, economicamente, a receber \;1.903,12 por ano nos anos \;1 a \;10 à taxa de 10\% a.a. — ou seja, na prova você pode substituir toda a série por essa anuidade uniforme quando comparar alternativas ou calcular equivalentes.

Resposta

A \approx 1.903,12\\ \$/\text{ano}

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