Calcule as integrais de superfície
\int_{S} \vec{F} \cdot d S
para os campos vetoriais
\vec{F}
e as superfícies orientadas
S
indicadas.
\vec{F}(x, y, z)=(y / 2, x / 2, z)
e
S
é a fronteira do sólido determinado por
0 \leq z \leq 1-x^{2}-y^{2}
, orientado com a normal apontando para o interior do sólido.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\int_{S} \vec{F}\cdot dS
para o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\left(\tfrac{y}{2},\tfrac{x}{2},z\right)
e para a superfície S que é a fronteira do sólido definido por
0\le z \le 1-x^{2}-y^{2},
com a orientação da normal apontando para o interior do sólido.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\left(\tfrac{y}{2},\tfrac{x}{2},z\right).\n
  • A superfície S é a superfície fechada que limita o sólido V=\{(x,y,z)\mid 0\le z\le 1-x^{2}-y^{2}\}.\n
  • A orientação pedida é a normal apontando para o interior do sólido (ou seja, normal interior).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicada passo a passo e intuitivamente).\n
Como S é a fronteira de um sólido (superfície fechada), uma forma muito eficiente de calcular o fluxo de \vec{F} através de S é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Vou explicar o que esse teorema diz e como ajustar por causa da orientação “para dentro”.\n
O Teorema da Divergência afirma que, para uma região V com fronteira \partial V orientada pela normal externa,
\int_{\partial V} \vec{F}\cdot \vec{n}_{\text{out}}\,dS=\int_{V} \operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui \vec{n}_{\text{out}} é o versor normal apontando para fora do sólido e \operatorname{div}\vec{F} é a divergência de \vec{F}, definida por
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z},
onde \vec{F}=(F_1,F_2,F_3).\n
No nosso problema, a orientação pedida é a normal apontando para o interior. Se \vec{n}_{\text{in}} é a normal interior, então \vec{n}_{\text{in}}=-\vec{n}_{\text{out}}. Portanto
\int_{S}\vec{F}\cdot \vec{n}_{\text{in}}\,dS=-\int_{S}\vec{F}\cdot \vec{n}_{\text{out}}\,dS=-\int_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Ou seja, com orientação interior, o fluxo é o negativo da integral da divergência sobre o volume.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F} explicitamente.\n
Temos \vec{F}=(F_1,F_2,F_3)=\left(\tfrac{y}{2},\tfrac{x}{2},z\right). Então cada derivada parcial é:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\tfrac{y}{2}\right)=0,
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\tfrac{x}{2}\right)=0,
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z)=1.
Somando:
\operatorname{div}\vec{F}=0+0+1=1.

Passo 4

Converter o problema do fluxo em uma integral de volume usando o resultado anterior.\n
Pelo que foi deduzido em

Passo 5

\int_{S}\vec{F}\cdot dS=\int_{S}\vec{F}\cdot \vec{n}_{\text{in}}\,dS=-\int_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Como \operatorname{div}\vec{F}=1, isso vira
\int_{S}\vec{F}\cdot dS=-\int_{V}1\,dV=-\operatorname{Vol}(V).
Portanto o problema reduz-se a calcular o volume do sólido V.

Passo 6

Calcular o volume do sólido V (paraboloide cortado por z=0).\n
O sólido é descrito por
V=\{(x,y,z)\mid 0\le z\le 1-x^{2}-y^{2}\}.
A projeção no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. Para calcular volume é natural usar coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
com jacobiano r. Os limites são 0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi e 0\le z\le 1-r^{2}.\n
Então o volume é
\operatorname{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Faço a integral em z primeiro:
\int_{0}^{1-r^{2}} r\,dz = r\big|_{z=0}^{z=1-r^{2}}=r(1-r^{2}).
Agora a integral em r e \theta:
\operatorname{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{1} r(1-r^{2})\,dr\right)d\theta.
Calculo a integral em r:
\int_{0}^{1} r(1-r^{2})\,dr=\int_{0}^{1}(r-r^{3})\,dr=\left[\tfrac{r^{2}}{2}-\tfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
Logo
\operatorname{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{4}\,d\theta=\tfrac{1}{4}\cdot 2\pi=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Concluir o valor do fluxo usando o sinal adequado.\n
Lembrando que \int_{S}\vec{F}\cdot dS=-\operatorname{Vol}(V) (porque a normal está apontando para o interior) e que \operatorname{Vol}(V)=\tfrac{\pi}{2}, obtemos
\int_{S}\vec{F}\cdot dS=-\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

-\dfrac{\pi}{2}

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