e para a superfície S que é a fronteira do sólido definido por
0\le z \le 1-x^{2}-y^{2},
com a orientação da normal apontando para o interior do sólido.\n
Informações relevantes fornecidas:
O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\left(\tfrac{y}{2},\tfrac{x}{2},z\right).\n
A superfície S é a superfície fechada que limita o sólido V=\{(x,y,z)\mid 0\le z\le 1-x^{2}-y^{2}\}.\n
A orientação pedida é a normal apontando para o interior do sólido (ou seja, normal interior).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicada passo a passo e intuitivamente).\n
Como S é a fronteira de um sólido (superfície fechada), uma forma muito eficiente de calcular o fluxo de \vec{F} através de S é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Vou explicar o que esse teorema diz e como ajustar por causa da orientação “para dentro”.\n
O Teorema da Divergência afirma que, para uma região V com fronteira \partial V orientada pela normal externa,
onde \vec{F}=(F_1,F_2,F_3).\n
No nosso problema, a orientação pedida é a normal apontando para o interior. Se \vec{n}_{\text{in}} é a normal interior, então \vec{n}_{\text{in}}=-\vec{n}_{\text{out}}. Portanto
Ou seja, com orientação interior, o fluxo é o negativo da integral da divergência sobre o volume.
Passo 3
Calcular a divergência de \vec{F} explicitamente.\n
Temos \vec{F}=(F_1,F_2,F_3)=\left(\tfrac{y}{2},\tfrac{x}{2},z\right). Então cada derivada parcial é:
Concluir o valor do fluxo usando o sinal adequado.\n
Lembrando que \int_{S}\vec{F}\cdot dS=-\operatorname{Vol}(V) (porque a normal está apontando para o interior) e que \operatorname{Vol}(V)=\tfrac{\pi}{2}, obtemos