(1,00 ponto) Em um trecho de uma galeria de drenagem de água pluvial, verifique se um conduto com diâmetro de 300 mm é suficiente para transportar uma vazão de 145 \mathrm{~L} / \mathrm{s} caso a declividade da tubulação no trecho seja de 1,5 \% e \mathrm{n}=0,013. Caso o diâmetro não seja suficiente, qual seria a declividade que possibilitaria o uso do diâmetro de 300 mm ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Verificar se um conduto de diâmetro 300\\ \mathrm{mm} é suficiente para transportar uma vazão de 145\\ \mathrm{L/s} quando a declividade da tubulação é 1,5\% e o coeficiente de rugosidade de Manning é n=0,013.
  2. Caso o diâmetro não seja suficiente, determinar qual declividade permitiria usar o diâmetro de 300\\ \mathrm{mm} para escoar 145\\ \mathrm{L/s}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (vou repetir todas em forma matemática para ficar claro):
  • Diâmetro: D=300\\ \mathrm{mm}=0,300\\ \mathrm{m}.
  • Vazão requerida: Q_{\text{req}}=145\\ \mathrm{L/s}=0,145\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Declividade disponível: S=1,5\%=0,015.
  • Rugosidade de Manning: n=0,013.
Observação importante (assunção usada aqui, porque é o caso mais comum em tubulações de drenagem): vamos considerar que a tubulação está escoando cheia (escoamento em conduto cheio) — assim usamos a fórmula de Manning para seção cheia.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar (Manning) e explicando cada termo:
A fórmula de Manning para vazão em canal/tubulação é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão (em \mathrm{m^3/s}),
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional),
  • A é a área da seção molhada (em \mathrm{m^2}),
  • R é o raio hidráulico (em \mathrm{m}), definido por R=A/P com P perímetro molhado (em \mathrm{m}),
  • S é a declividade do eixo (adimensional; por ex. 1{,}5\% = 0{,}015),
  • S^{1/2} é a raiz quadrada de S e R^{2/3} é o raio hidráulico elevado a 2/3.
No caso de um tubo circular escoando cheio temos fórmulas simples:
  • Área: \displaystyle A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Perímetro molhado: \displaystyle P=\pi D.
  • Logo o raio hidráulico: \displaystyle R=\frac{A}{P}=\frac{\pi D^{2}/4}{\pi D}=\frac{D}{4}.
Vou usar essas expressões para calcular Q para D=0{,}300\\ \mathrm{m} e S=0{,}015.

Passo 3

Calcular os parâmetros geométricos da tubulação ( A e R) com D=0{,}300\\ \mathrm{m}.
Cálculo da área:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}300)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0225\approx 0{,}070685\\ \mathrm{m^{2}}.
(Arredondarei os valores intermediários com razoável número de dígitos, mantendo precisão suficiente para a prova.)
Cálculo do raio hidráulico:
R=\frac{D}{4}=\frac{0{,}300}{4}=0{,}075\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular os termos R^{2/3} e S^{1/2} numericamente.
Primeiro R^{2/3}:
R^{2/3}=(0{,}075)^{2/3}.
Um jeito prático: calcule (0{,}075)^{1/3} (raiz cúbica) e depois eleve ao quadrado.
A raiz cúbica de 0{,}075 é aproximadamente 0{,}4217 (pois 0{,}4217^{3}\approx0{,}075), então
R^{2/3}\approx (0{,}4217)^{2}\approx 0{,}1778.
Agora S^{1/2} com S=0{,}015:
S^{1/2}=\sqrt{0{,}015}\approx 0{,}12247.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Manning para obter a vazão máxima que o tubo de D=0{,}300\\ \mathrm{m} transporta com S=0{,}015 e n=0{,}013.
Substituindo:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Calculando passo a passo (todos os números em \mathrm{SI}):
\frac{1}{n}=\frac{1}{0{,}013}\approx 76{,}923.
A\cdot R^{2/3}\approx 0{,}070685\cdot 0{,}1778\approx 0{,}012569\\ \mathrm{m^2\cdot m^{2/3}}.
A\cdot R^{2/3}\cdot S^{1/2}\approx 0{,}012569\cdot 0{,}12247\approx 0{,}0015389.
Finalmente
Q\approx 76{,}923\cdot 0{,}0015389\approx 0{,}1184\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q\approx 0{,}1184\\ \mathrm{m^3/s}=118{,}4\\ \mathrm{L/s}.

Passo 6

Comparação com a vazão requerida:
  • Vazão calculada para D=0{,}300\\ \mathrm{m} e S=1{,}5\%: Q\approx 118{,}4\\ \mathrm{L/s}.
  • Vazão requerida: Q_{\text{req}}=145\\ \mathrm{L/s}.
Como 118{,}4\\ \mathrm{L/s}<145\\ \mathrm{L/s}, concluímos que o diâmetro de 300\\ \mathrm{mm} NÃO é suficiente com a declividade dada de 1{,}5\%.
Agora vamos calcular qual declividade S_{\text{req}} seria necessária para que o mesmo tubo transporte Q_{\text{req}}=0{,}145\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 7

Isolando S na fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}\quad\Rightarrow\quad S^{1/2}=\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}.
Elevando ao quadrado:
S=\left(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.
Substituindo os valores conhecidos (usar A e R^{2/3} já calculados):
  • Q=0{,}145\\ \mathrm{m^3/s},
  • n=0{,}013,
  • A\cdot R^{2/3}\approx 0{,}012569.
Calcule o quociente:
\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}=\frac{0{,}145\cdot 0{,}013}{0{,}012569}\approx \frac{0{,}001885}{0{,}012569}\approx 0{,}1500.
Agora ao quadrado:
S\approx (0{,}1500)^{2}=0{,}0225.
Convertendo para porcentagem:
S_{\text{req}}\approx 0{,}0225=2{,}25\%.

Passo 8

Interpretação do resultado e comentário prático (rápido e amigo):
  • Com a declividade disponível de 1{,}5\% o tubo de 300\\ \mathrm{mm} só escoa cerca de 118{,}4\\ \mathrm{L/s}, que é insuficiente para os 145\\ \mathrm{L/s} necessários.
  • Para usar o mesmo diâmetro de 300\\ \mathrm{mm} e atender 145\\ \mathrm{L/s} seria preciso aumentar a declividade para cerca de 2{,}25\%.

Resposta

Não; a vazão máxima com D=300\\ \mathrm{mm}, S=1{,}5\% e n=0{,}013 é Q\approx118{,}4\\ \mathrm{L/s}, que é menor que 145\\ \mathrm{L/s}.
Declividade necessária para D=300\\ \mathrm{mm} e Q=145\\ \mathrm{L/s}: S\approx2{,}25\%.

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