(1,00 ponto) Em um trecho de uma galeria de drenagem de água pluvial, verifique se um conduto com diâmetro de 300 mm é suficiente para transportar uma vazão de
caso a declividade da tubulação no trecho seja de
e
. Caso o diâmetro não seja suficiente, qual seria a declividade que possibilitaria o uso do diâmetro de 300 mm ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Verificar se um conduto de diâmetro
é suficiente para transportar uma vazão de quando a declividade da tubulação é e o coeficiente de rugosidade de Manning é . - Caso o diâmetro não seja suficiente, determinar qual declividade permitiria usar o diâmetro de
para escoar .
Informações relevantes dadas pelo enunciado (vou repetir todas em forma matemática para ficar claro):
- Diâmetro:
. - Vazão requerida:
. - Declividade disponível:
. - Rugosidade de Manning:
.
Observação importante (assunção usada aqui, porque é o caso mais comum em tubulações de drenagem): vamos considerar que a tubulação está escoando cheia (escoamento em conduto cheio) — assim usamos a fórmula de Manning para seção cheia.
Passo 2
Apresentando a fórmula que vamos usar (Manning) e explicando cada termo:
A fórmula de Manning para vazão em canal/tubulação é
A fórmula de Manning para vazão em canal/tubulação é
onde:
-
é a vazão (em ), -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional), -
é a área da seção molhada (em ), -
é o raio hidráulico (em ), definido por com perímetro molhado (em ), -
é a declividade do eixo (adimensional; por ex. ), -
é a raiz quadrada de e é o raio hidráulico elevado a .
No caso de um tubo circular escoando cheio temos fórmulas simples:
- Área:
. - Perímetro molhado:
. - Logo o raio hidráulico:
.
Vou usar essas expressões para calcular
para
e
.
Passo 3
Calcular os parâmetros geométricos da tubulação (
e
) com
.
Cálculo da área:
(Arredondarei os valores intermediários com razoável número de dígitos, mantendo precisão suficiente para a prova.)
Cálculo do raio hidráulico:
Passo 4
Calcular os termos
e
numericamente.
Primeiro
:
Um jeito prático: calcule
(raiz cúbica) e depois eleve ao quadrado.
A raiz cúbica de é aproximadamente
(pois
), então
A raiz cúbica de
Agora
com
:
Passo 5
Aplicar a fórmula de Manning para obter a vazão máxima que o tubo de
transporta com
e
.
Substituindo:
Calculando passo a passo (todos os números em
):
Finalmente
Convertendo para litros por segundo:
Passo 6
Comparação com a vazão requerida:
- Vazão calculada para
e : . - Vazão requerida:
.
Como
, concluímos que o diâmetro de
NÃO é suficiente com a declividade dada de
.
Agora vamos calcular qual declividade
seria necessária para que o mesmo tubo transporte
.
Passo 7
Isolando
na fórmula de Manning:
Elevando ao quadrado:
Substituindo os valores conhecidos (usar
e
já calculados):
-
, -
, -
.
Calcule o quociente:
Agora ao quadrado:
Convertendo para porcentagem:
Passo 8
Interpretação do resultado e comentário prático (rápido e amigo):
- Com a declividade disponível de
o tubo de só escoa cerca de , que é insuficiente para os necessários. - Para usar o mesmo diâmetro de
e atender seria preciso aumentar a declividade para cerca de .
Resposta
Não; a vazão máxima com
,
e
é
, que é menor que
.
Declividade necessária para e
:
.
Declividade necessária para