10^{\circ} ) Determine a diferencial total das funções abaixo:
z=3 x^{2} y+\ln \left(x^{2} y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total da função
z = 3x^2y + \ln\bigl(x^2y^3\bigr).
Para isso, vamos usar a definição de diferencial total:
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.

Passo 2

Calculamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} aplicando a regra da soma e a regra da cadeia no termo logarítmico.
Para o primeiro termo 3x^2y,
\frac{\partial}{\partial x}(3x^2y) = 6xy.
Para o segundo termo \ln(x^2y^3), escrevemos \ln(x^2y^3)=2\ln x+3\ln y, então
\frac{\partial}{\partial x}\ln(x^2y^3) = \frac{2}{x}.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = 6xy + \frac{2}{x}.

Passo 3

Calculamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} de forma análoga.
Para 3x^2y,
\frac{\partial}{\partial y}(3x^2y) = 3x^2.
Para \ln(x^2y^3)=2\ln x+3\ln y,
\frac{\partial}{\partial y}\ln(x^2y^3) = \frac{3}{y}.
Assim,
\frac{\partial z}{\partial y} = 3x^2 + \frac{3}{y}.

Passo 4

Substituímos as derivadas parciais na fórmula da diferencial total:
dz = \Bigl(6xy + \tfrac{2}{x}\Bigr)dx + \Bigl(3x^2 + \tfrac{3}{y}\Bigr)dy.

Resposta

dz = \left(6xy + \frac{2}{x}\right)dx \;+\;\left(3x^2 + \frac{3}{y}\right)dy.

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