10^{\circ} ) Determine a diferencial total das funções abaixo:
z=\ln \left(x^{2}+y\right)

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total da função
z = \ln\bigl(x^{2} + y\bigr),
ou seja, queremos expressar dz em termos de dx e dy. Para isso, vamos usar a definição de diferencial total:
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de z em relação a x. Como
z = \ln\bigl(x^{2} + y\bigr),
usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^{2} + y}\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2} + y\bigr) = \frac{1}{x^{2} + y}\cdot 2x = \frac{2x}{x^{2} + y}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de z em relação a y. Novamente pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^{2} + y}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2} + y\bigr) = \frac{1}{x^{2} + y}\cdot 1 = \frac{1}{x^{2} + y}.

Passo 4

Substituímos as derivadas parciais na fórmula de diferencial total:
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy = \frac{2x}{x^{2} + y}\,dx + \frac{1}{x^{2} + y}\,dy.

Resposta

dz = \frac{2x}{x^{2} + y}\,dx + \frac{1}{x^{2} + y}\,dy.

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