10^{\circ} ) Determine a diferencial total das funções abaixo:
z=\frac{2 x y}{x^{2}-3 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de
z = \frac{2xy}{x^2 - 3y^2}\,.
O conteúdo aqui é cálculo de diferencial total para função de duas variáveis. Para isso vamos precisar das derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, e então usar
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} por meio da regra do quociente. Defina
f(x,y) = 2xy,\quad g(x,y)=x^2-3y^2,
então
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{f_x\,g - f\,g_x}{g^2} = \frac{(2y)(x^2-3y^2) - (2xy)(2x)}{(x^2-3y^2)^2}.
No numerador temos
2yx^2 -6y^3 -4x^2y = -2y\,(x^2+3y^2),
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\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2y\,(x^2+3y^2)}{(x^2-3y^2)^2}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} também pela regra do quociente, com
f_y = 2x,\quad g_y = -6y,
portanto
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(2x)(x^2-3y^2) - (2xy)(-6y)}{(x^2-3y^2)^2} = \frac{2x^3 -6xy^2 +12xy^2}{(x^2-3y^2)^2} = \frac{2x\,(x^2+3y^2)}{(x^2-3y^2)^2}.

Passo 4

Agora montamos a diferencial total combinando as duas derivadas parciais:
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy = \frac{-2y\,(x^2+3y^2)}{(x^2-3y^2)^2}\,dx + \frac{2x\,(x^2+3y^2)}{(x^2-3y^2)^2}\,dy.

Resposta

dz = \frac{-2y\,(x^2+3y^2)}{(x^2-3y^2)^2}\,dx \;+\; \frac{2x\,(x^2+3y^2)}{(x^2-3y^2)^2}\,dy.

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