) Mostre que a série
converge.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge. O conteúdo principal é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o teste da integral (ou teste de Cauchy–Maclaurin), que compara a soma com a integral imprópria da função contínua correspondente.
Passo 2
Definimos a função
Observamos que para
:
-
. -
é contínua em . - Para verificar que
é decrescente, calculamos
Em
temos
e portanto
, logo
. Isso garante que
é decrescente para
suficientemente grande, o que basta para o teste da integral (podemos ajustar o início da soma sem afetar a convergência).
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Usamos integração por partes, com
,
. Então
e
.
Logo
Logo
Avaliaremos de
a
:
Fazendo
, o termo
, logo
Passo 4
Pelo teste da integral, como
é contínua, positiva e decrescente para
grande, e
converge, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
converge.