). Sejam
e (
) sequências tais que
para todo
. Mostre que
para alguma constante c.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas sequências
e
definidas para
, com a propriedade
para todo
, onde
e
.
O objetivo é mostrar que existe uma constante tal que
O objetivo é mostrar que existe uma constante
para todo
. Vamos usar a ideia de sequências de diferenças e um argumento de indução implícito (ou telescópico) para concluir que a diferença entre
e
é constante.
Passo 2
Defina a sequência
Vamos achar a diferença
. Pela definição de diferença de sequência, temos
Reagrupando, isso fica
Passo 3
Como
por hipótese, segue que
para todo
. Isto significa que
Logo, a sequência
é constante em todos os termos.
Passo 4
Se
é constante, então existe um valor fixo
tal que
Como
, concluímos