8^{\circ} ). Sejam \left(x_{n}\right) e ( y_{n} ) sequências tais que \Delta x_{n}=\Delta y_{n} para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que x_{n}=y_{n}+c para alguma constante c.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas sequências \bigl(x_{n}\bigr) e \bigl(y_{n}\bigr) definidas para n\in\mathbb{N}, com a propriedade
\Delta x_{n}=\Delta y_{n}
para todo n, onde \Delta x_{n}=x_{n+1}-x_{n} e \Delta y_{n}=y_{n+1}-y_{n}.
O objetivo é mostrar que existe uma constante c tal que
x_{n}=y_{n}+c
para todo n. Vamos usar a ideia de sequências de diferenças e um argumento de indução implícito (ou telescópico) para concluir que a diferença entre x_{n} e y_{n} é constante.

Passo 2

Defina a sequência
d_{n}=x_{n}-y_{n}.
Vamos achar a diferença \Delta d_{n}. Pela definição de diferença de sequência, temos
\Delta d_{n}=d_{n+1}-d_{n}=(x_{n+1}-y_{n+1})-(x_{n}-y_{n}).
Reagrupando, isso fica
\Delta d_{n}=(x_{n+1}-x_{n})-(y_{n+1}-y_{n})=\Delta x_{n}-\Delta y_{n}.

Passo 3

Como \Delta x_{n}=\Delta y_{n} por hipótese, segue que
\Delta d_{n}=0
para todo n. Isto significa que
d_{n+1}-d_{n}=0 \quad\Longrightarrow\quad d_{n+1}=d_{n}.
Logo, a sequência \bigl(d_{n}\bigr) é constante em todos os termos.

Passo 4

Se \bigl(d_{n}\bigr) é constante, então existe um valor fixo c tal que
d_{n}=c \quad\text{para todo }n.
Como d_{n}=x_{n}-y_{n}, concluímos
x_{n}-y_{n}=c \quad\Longrightarrow\quad x_{n}=y_{n}+c.

Resposta

\displaystyle x_{n}=y_{n}+c, onde c=x_{1}-y_{1}.

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