\left.5^{\circ}\right) Mostre que \sum_{k=1}^{n} \Delta f(k)=f(n+1)-f(1), onde \Delta f(k)=f(k+1)-f(k).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada a diferença finita
\Delta f(k)=f(k+1)-f(k), vale
\sum_{k=1}^{n}\Delta f(k)=f(n+1)-f(1).
O conteúdo aqui é a soma telescópica de diferenças finitas.

Passo 2

Escrevendo o somatório com a definição de \Delta f(k), temos
\sum_{k=1}^{n}\Delta f(k) =\sum_{k=1}^{n}\bigl(f(k+1)-f(k)\bigr).

Passo 3

Ao expandir essa soma, ocorre cancelamento em cadeia:
\sum_{k=1}^{n}\bigl(f(k+1)-f(k)\bigr) =\bigl(f(2)-f(1)\bigr) +\bigl(f(3)-f(2)\bigr) +\cdots +\bigl(f(n+1)-f(n)\bigr).
Repare que f(2) anula-se com -f(2), f(3) anula-se com -f(3), e assim por diante, sobrando apenas
f(n+1)-f(1).

Passo 4

Concluímos, portanto, que
\sum_{k=1}^{n}\Delta f(k)=f(n+1)-f(1).

Resposta

\sum_{k=1}^{n}\Delta f(k)=f(n+1)-f(1).

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