10-O consumidor de um certo produto acusou o fabricante, dizendo que mais de 30 \% das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusação, ele usou uma amostra de tamanho 64, onde 25 \% das peças eram defeituosas. Mostre como o fabricante poderia refutar a acusação. Utilize um nível de significância de 8 \%.

Passo 1

O problema é um teste de hipóteses para proporção de itens defeituosos. Temos uma amostra de tamanho n=64 com proporção observada \hat p=0,25, e queremos testar ao nível de significância \alpha=0,08 a acusação de que a proporção verdadeira p é maior que 0,30. Vamos usar a aproximação normal para proporções.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\;p=0,30
H_1:\;p>0,30
Como H_1 é unilateral à direita, a região crítica será \{Z>z_{1-\alpha}\}.

Passo 3

A estatística de teste é
Z \;=\;\frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}} \;=\;\frac{0,25 - 0,30}{\sqrt{\dfrac{0,30\,(1-0,30)}{64}}} \;=\;\frac{-0,05}{\sqrt{\dfrac{0,21}{64}}} \;=\;\frac{-0,05}{0,05729} \;\approx\;-0,87.

Passo 4

O quantil crítico para \alpha=0,08 é
z_{1-\alpha}=z_{0,92}\approx1,405.
Logo a região de rejeição de H_0 é Z>1,405.

Passo 5

Como o valor observado Z\approx-0,87 não pertence à região crítica \{Z>1,405\}, não rejeitamos H_0. Em outras palavras, não há evidência estatística, ao nível de 8\%, de que a proporção de defeituosos seja maior que 30\%.

Resposta

O fabricante refuta a acusação mostrando que, com \hat p=0,25 e n=64, a estatística Z\approx-0,87 fica fora da região crítica Z>1,405. Portanto, não se rejeita H_0 e não há prova de que mais de 30\% das peças sejam defeituosas.

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