5-De uma população normal com média e variância desconhecidas, extrai-se uma amostra de tamanho 100 obtendo-se média igual a 35 e \mathrm{s}^{2}=49. Obtenha um intervalo de confiança para a variância populacional, utilizando o nível de confiança de 99 \%.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=100 retirada de uma população normal com média e variância desconhecidas. Da amostra obteve-se média igual a 35 e variância amostral s^{2}=49. O objetivo é construir um intervalo de confiança de 99\% para a variância populacional \sigma^{2}. Para isso vamos usar a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Sabemos que, para amostra de tamanho n vinda de população normal, vale
\frac{(n-1)\,S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{\,n-1}.
Assim, um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^{2} é
\frac{(n-1)\,S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;n-1}} \;\le\;\sigma^{2}\;\le\; \frac{(n-1)\,S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;n-1}}.

Passo 3

Aqui n-1=99 e \alpha=0.01, então \alpha/2=0.005. Pelas tabelas de qui-quadrado:
\chi^{2}_{0.005,\;99}=73.361 \quad\text{e}\quad \chi^{2}_{0.995,\;99}=128.422.

Passo 4

Substituindo S^{2}=49:
Lower bound:
\frac{99\cdot49}{128.422}\approx37.78,
Upper bound:
\frac{99\cdot49}{73.361}\approx66.16.

Resposta

O intervalo de confiança de 99\% para \sigma^{2} é aproximadamente
[\,37.78,\;66.16\,].

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