8-Um fabricante de um determinado sal de cozinha alega que o mesmo acusou 70 \% de eficiência em aliviar o problema do bóssio. Pegou-se numa amostra de 180 indivíduos que sofriam de bóssio; o sal deu resultado positivo em 150. Determine se a alegação do fabricante é legítma ou não ao nível de confiança de 98 \%.

Passo 1

O enunciado testa a eficiência de um sal de cozinha em aliviar o problema do bóssio, usando inferência de proporção. O fabricante afirma que a eficácia verdadeira é p_{0}=0,70. Num levantamento com n=180 indivíduos, houve 150 respostas positivas. Queremos verificar, ao nível de confiança de 98\%, se essa alegação é legítima ou deve ser rejeitada.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste bilateral para proporção:
H_{0}: p = p_{0}=0,70
H_{1}: p \neq 0,70
usando como estatística de teste a Z de uma amostra para proporção.

Passo 3

Calculamos a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{150}{180} = 0,8333\ldots

Passo 4

Sob H_{0}, o erro padrão da proporção é
SE = \sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}} = \sqrt{\frac{0,70\cdot0,30}{180}} = \sqrt{\frac{0,21}{180}} \approx 0,03417.

Passo 5

A estatística de teste Z é
Z = \frac{\hat p - p_{0}}{SE} = \frac{0,8333 - 0,70}{0,03417} \approx 3,90.

Passo 6

Para nível de confiança de 98\% (ou \alpha=0,02), o valor crítico bilateral é
z_{1-\alpha/2} = z_{0,99} \approx 2,3263.
A região de rejeição de H_{0} é \lvert Z\rvert > 2,3263.

Passo 7

Como \lvert 3,90\rvert > 2,3263, rejeitamos H_{0}. Ou seja, a proporção observada difere significativamente de 0,70 ao nível de 98\%.

Resposta

Alegação não legítima. Rejeita-se H_{0}; a eficácia difere de 70\%.

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