2.4.10 Em coordenadas cilíndricas circulares voltadas para a direita, uma determinada função vetorial é dada por
Mostre que
tem somente uma componente
. Note que esse resultado valerá para qualquer vetor confinado à superfície
constante, contanto que cada um dos produtos
e
seja independente de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o rotor de
em coordenadas cilíndricas (com ,
,
) tem apenas componente na direção
.
O conteúdo principal é o cálculo de em coordenadas curvilíneas ortogonais.
em coordenadas cilíndricas (com
O conteúdo principal é o cálculo de
Passo 2
Em coordenadas ortogonais gerais
com fatores de escala
, as componentes do rotor são
onde
é um ciclo de
.
Passo 3
Para
(direção
):
Em cilíndricas
,
, e aqui
e
, logo
Passo 4
Para
(direção
):
Como
, esta componente também é zero.
Passo 5
Para
(direção
):
Assim o rotor tem somente componente em
.
Esse raciocínio vale para qualquer vetor confinado à superfície
constante em coordenadas ortogonais, desde que
,
e os produtos
,
não dependam de
, garantindo o aniquilamento das outras componentes.