Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como \mathbf{L}=-i(\(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla})), mostre que
(a) L_{x}+i L_{y}=e^{i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}+i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right)
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))

Passo 1

O enunciado define o operador de momento angular em mecânica quântica como
\mathbf{L}=-\,i\bigl(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}\bigr)
e pede para mostrar que o operador de levantamento
L_{+}=L_{x}+iL_{y}
em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) pode ser escrito como
L_{+}=e^{i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial \theta}+i\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial \varphi}\Bigr).
Para isso vamos usar (i) a expressão do nabla em esféricas e (ii) as relações de base \{\hat r,\hat\theta,\hat\varphi\} e de vetores cartesianos \{\hat x,\hat y,\hat z\}.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
\boldsymbol{\nabla} =\hat r\,\frac{\partial}{\partial r} +\hat\theta\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial \theta} +\hat\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \varphi},
e o vetor posição é \mathbf r = r\,\hat r. Logo
\mathbf r\times\boldsymbol{\nabla} =r\,\hat r\times\boldsymbol{\nabla} =r\Bigl(\hat r\times\hat\theta\,\frac{1}{r}\,\partial_{\theta} +\hat r\times\hat\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\partial_{\varphi}\Bigr).

Passo 3

Usando \hat r\times\hat\theta=\hat\varphi e \hat r\times\hat\varphi=-\hat\theta, obtemos
\mathbf r\times\boldsymbol{\nabla} =\hat\varphi\,\frac{\partial}{\partial \theta} -\hat\theta\,\frac{1}{\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \varphi}.
Assim
\mathbf{L} =-\,i\bigl(\mathbf r\times\boldsymbol{\nabla}\bigr) =-\,i\Bigl(\hat\varphi\,\partial_{\theta} -\hat\theta\,\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_{\varphi}\Bigr).

Passo 4

O operador de levantamento é
L_{+}=L_{x}+iL_{y} =(\hat x+i\hat y)\cdot\mathbf{L} =-\,i\bigl[(\hat x+i\hat y)\cdot\hat\varphi\,\partial_{\theta} -(\hat x+i\hat y)\cdot\hat\theta\,\tfrac{1}{\sin\theta}\,\partial_{\varphi}\bigr].

Passo 5

Precisamos calcular
(\hat x+i\hat y)\cdot\hat\varphi \quad\text{e}\quad (\hat x+i\hat y)\cdot\hat\theta.
Sabendo que
\hat\varphi=-\sin\varphi\,\hat x+\cos\varphi\,\hat y, \quad \hat\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\hat x+\cos\theta\sin\varphi\,\hat y-\sin\theta\,\hat z,
segue
(\hat x+i\hat y)\cdot\hat\varphi =-\sin\varphi+i\cos\varphi =i(\cos\varphi+i\sin\varphi) =i\,e^{i\varphi},
(\hat x+i\hat y)\cdot\hat\theta =\cos\theta(\cos\varphi+i\sin\varphi) =\cos\theta\,e^{i\varphi}.

Passo 6

Substituindo em L_{+}:
L_{+} =-\,i\Bigl[i\,e^{i\varphi}\,\partial_{\theta} -\cos\theta\,e^{i\varphi}\,\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_{\varphi}\Bigr] =e^{i\varphi}\Bigl(\partial_{\theta}+i\cot\theta\,\partial_{\varphi}\Bigr),
que é justamente a forma desejada.

Resposta

L_{x}+iL_{y} =e^{i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial \theta} +i\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial \varphi}\Bigr).

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