Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como
, mostre que
(a)
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))
(a)
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))
Passo 1
O enunciado define o operador de momento angular em mecânica quântica como
e pede para mostrar que o operador de levantamento
em coordenadas esféricas
pode ser escrito como
Para isso vamos usar (i) a expressão do nabla em esféricas e (ii) as relações de base
e de vetores cartesianos
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
e o vetor posição é
. Logo
Passo 3
Usando
e
, obtemos
Assim
Passo 4
O operador de levantamento é
Passo 5
Precisamos calcular
Sabendo que
segue
Passo 6
Substituindo em
:
que é justamente a forma desejada.