Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como \mathbf{L}=-i(\(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla})), mostre que
(a) L_{x}+i L_{y}=e^{i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}+i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right)
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))

Passo 1

O enunciado define o operador momento angular em mecânica quântica como
\mathbf{L}=-i\,\bigl(\mathbf{r}\times\nabla\bigr)
e pede para mostrar que
L_x + iL_y \;=\; e^{i\varphi}\!\Bigl(\frac{\partial}{\partial \theta} + i\cot\theta \,\frac{\partial}{\partial \varphi}\Bigr).
Para isso, vamos usar a forma do operador gradiente em coordenadas esféricas e as relações dos versores esféricos.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) o gradiente é
\nabla =\hat r\,\frac{\partial}{\partial r} +\hat\theta\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial \theta} +\hat\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \varphi}.

Passo 3

Como \mathbf{r}=r\,\hat r, o produto vetorial fica
\mathbf{r}\times\nabla =r\,\hat r\times\nabla =\hat\varphi\,\frac{\partial}{\partial \theta} -\hat\theta\,\frac{1}{\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \varphi}.

Passo 4

Aplicando \mathbf{L}=-i(\mathbf{r}\times\nabla) obtemos
\mathbf{L} =-i\Bigl(\hat\varphi\,\frac{\partial}{\partial \theta} -\hat\theta\,\frac{1}{\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \varphi}\Bigr).

Passo 5

Projetamos em x e y usando \hat\varphi_x=-\sin\varphi, \hat\varphi_y=\cos\varphi, \hat\theta_x=\cos\theta\cos\varphi, \hat\theta_y=\cos\theta\sin\varphi.
Isso dá
L_x =-i\Bigl(\hat\varphi_x\,\partial_\theta-\hat\theta_x\,\tfrac{1}{\sin\theta}\partial_\varphi\Bigr) =i\sin\varphi\,\partial_\theta +i\cos\varphi\,\cot\theta\,\partial_\varphi,
L_y =-i\Bigl(\hat\varphi_y\,\partial_\theta-\hat\theta_y\,\tfrac{1}{\sin\theta}\partial_\varphi\Bigr) =-i\cos\varphi\,\partial_\theta +i\sin\varphi\,\cot\theta\,\partial_\varphi.

Passo 6

Somando L_x+iL_y:
L_x+iL_y =\bigl[i\sin\varphi\partial_\theta+i\cos\varphi\cot\theta\partial_\varphi\bigr] +\bigl[-i^2\cos\varphi\partial_\theta+i^2\sin\varphi\cot\theta\partial_\varphi\bigr]
\phantom{L_x+iL_y} =(\cos\varphi+i\sin\varphi)\,\partial_\theta +i(\cos\varphi+i\sin\varphi)\,\cot\theta\,\partial_\varphi =e^{i\varphi}\!\Bigl(\frac{\partial}{\partial \theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial \varphi}\Bigr).

Resposta

L_x + iL_y = e^{i\varphi}\!\Bigl(\frac{\partial}{\partial \theta} + i\cot\theta \,\frac{\partial}{\partial \varphi}\Bigr).

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