Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como
, mostre que
(a)
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))
(a)
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))
Passo 1
O enunciado define o operador momento angular em mecânica quântica como
e pede para mostrar que
Para isso, vamos usar a forma do operador gradiente em coordenadas esféricas e as relações dos versores esféricos.
Passo 2
Em coordenadas esféricas
o gradiente é
Passo 3
Como
, o produto vetorial fica
Passo 4
Aplicando
obtemos
Passo 5
Projetamos em
e
usando
,
,
,
.
Isso dá
Isso dá
Passo 6
Somando
: