10.1 Dado o desviador de jato, em forma de um bocal convergente, sabendo-se que o escoamento é de água com vazão de 50 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, que as áreas de entrada e saída são dadas por \mathrm{A}_{1}=2 \cdot \mathrm{~A}_{2}=0,01 \mathrm{~m}^{2}, e que o peso do desviador mais a água nele contida é de 200 N , calcule os esforços horizontal e vertical que agem sobre uma junta localizada na seção (1), bem como a força resultante total.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
  • Vazão de água: 50\\ \mathrm{L/s}.
  • Áreas: \mathrm{A}_{1}=2\cdot \mathrm{A}_{2}=0,01\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Peso do desviador mais água nele contida: 200\\ \mathrm{N}.
  • Pedido: calcular os esforços horizontal e vertical que agem sobre uma junta localizada na seção (1) e a força resultante total.
Informações ausentes importantes (figura/necessárias para obter respostas numéricas finais):
  • A direção (ângulo) do escoamento na saída (seção (2)) em relação à horizontal. Sem essa informação não é possível decompor numericamente a variação de quantidade de movimento em componentes horizontal e vertical e, portanto, não é possível dar valores numéricos únicos para os esforços horizontal e vertical.
    Portanto, vou: (a) transformar os dados, (b) apresentar a teoria e as fórmulas passo a passo, (c) obter expressões gerais para as componentes em função do ângulo de saída \theta (medido a partir da horizontal), e (d) mostrar exemplos para ângulos típicos, para você ver como obter números quando souber o ângulo ou tiver a figura.

Passo 2

Converter unidades e calcular áreas, velocidades e vazão mássica — estes são passos mecânicos que sempre fazemos primeiro.
  • Converter vazão para \mathrm{m^{3}/s}:
Q = 50\\ \mathrm{L/s} = 0,05\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • A partir de \mathrm{A}_{1}=0,01\\ \mathrm{m^{2}} e \mathrm{A}_{1}=2\mathrm{A}_{2}, obtemos:
\mathrm{A}_{2} = \frac{\mathrm{A}_{1}}{2} = \frac{0,01}{2} = 0,005\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidades médias nas seções, usando V=\dfrac{Q}{A}:
V_{1}=\frac{Q}{\mathrm{A}_{1}}=\frac{0,05}{0,01}=5\\ \mathrm{m/s},
V_{2}=\frac{Q}{\mathrm{A}_{2}}=\frac{0,05}{0,005}=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Densidade da água (valor padrão que usamos aqui): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    Vazão mássica:
\dot m = \rho Q = 1000\cdot 0,05 = 50\\ \mathrm{kg/s}.
Observação: os produtos \dot m V têm unidades de força (kg/s·m/s = N) e representam a taxa de variação da quantidade de movimento (impulso por segundo).

Passo 3

Apresentar o princípio físico (teorema do momento linear) e escrever a equação geral que vamos usar.
  • Teorema do momento linear (regime permanente, fluxo estacionário): a soma das forças externas aplicadas ao volume de controle é igual à variação líquida da quantidade de movimento do fluido que sai e entra:
\sum \mathbf{F}_{\text{ext}} = \dot m\,\mathbf{V}_{\text{out}} - \dot m\,\mathbf{V}_{\text{in}}.
Aqui \sum \mathbf{F}_{\text{ext}} inclui: força aplicada pela junta/suporte sobre o volume de controle ( \mathbf{R}), o peso do conjunto ( \mathbf{W}, vertical para baixo), e forças de pressão nas aberturas (se houver diferença de pressão). Cada termo é um vetor.
  • Convenção de sinais que vou usar (clara e fácil de seguir):
    • Eixo x: horizontal, positivo para a direita.
    • Eixo y: vertical, positivo para cima.
    • Denoto por \mathbf{R} a força que o suporte/junta aplica sobre o volume de controle (isto é, a força que age sobre o fluido); a força que o fluido/junta aplica no suporte é o oposto, -\mathbf{R}. Como a pergunta é sobre os esforços que agem sobre a junta, no final vou fornecer a força que o fluido + peso exercem sobre a junta (ou seja, o oposto de \mathbf{R}). Vou explicitar isso para evitar confusão.
  • Normalmente, se as seções estão expostas à mesma pressão (por exemplo, ambas à pressão atmosférica), as forças de pressão nas aberturas se cancelam e podem ser desprezadas. Vou assumir esse caso, pois o enunciado não fornece diferenças de pressão.

Passo 4

Aplicar a equação às velocidades conhecidas e escrever a fórmula vetorial. Defina a direção de saída com um ângulo \theta medido a partir da horizontal (sentido anti-horário).
  • Vetores velocidade:
    • Entrada (seção 1): assumimos o escoamento entrando/saindo na direção \hat{\imath} (horizontal) com velocidade \mathbf{V}_{1}=V_{1}\,\hat{\imath}.
    • Saída (seção 2): velocidade \mathbf{V}_{2}=V_{2}(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}).
  • Aplicando o teorema do momento ao volume de controle que contém o fluido dentro do desviador:
\mathbf{R} + \mathbf{W} = \dot m\,\mathbf{V}_{2} - \dot m\,\mathbf{V}_{1},
onde \mathbf{R} é a força que o suporte/junta aplica sobre o fluido e \mathbf{W}=-W\,\hat{\jmath} com W=200\\ \mathrm{N} (peso para baixo).
  • Reorganizando para obter \mathbf{R}:
\mathbf{R} = \dot m(\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{1}) - \mathbf{W}.
  • A força que realmente age sobre a junta (a que a junta precisa resistir, isto é, a força que o fluido+gravidade exercem sobre a junta) é o oposto de \mathbf{R}:
\mathbf{F}_{J} = -\mathbf{R} = \dot m(\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}) + \mathbf{W}.
Este \mathbf{F}_{J} é o vetor que vou decompor em componentes horizontal e vertical — é a resposta física solicitada (força sobre a junta).

Passo 5

Decompor a expressão em componentes x e y e substituir os valores numéricos já calculados ( \dot m,V_{1},V_{2},W) para obter fórmulas prontas para uso quando \theta for conhecido.
  • Escrevendo \mathbf{F}_{J} em componentes:
\mathbf{F}_{J} = \dot m\bigl(V_{1}\hat{\imath} - V_{2}(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath})\bigr) + (-W\,\hat{\jmath}).
  • Componentes:
F_{Jx} = \dot m\,(V_{1}-V_{2}\cos\theta),
F_{Jy} = \dot m\,(0 - V_{2}\sin\theta) - W = -\dot m\,V_{2}\sin\theta - W.
  • Substituindo \dot m=50\\ \mathrm{kg/s}, V_{1}=5\\ \mathrm{m/s}, V_{2}=10\\ \mathrm{m/s}, W=200\\ \mathrm{N}:
F_{Jx} = 50\,(5 - 10\cos\theta) = 250 - 500\cos\theta\\ \mathrm{N},
F_{Jy} = -50\cdot 10\sin\theta - 200 = -500\sin\theta - 200\\ \mathrm{N}.
  • Força resultante (módulo) em função de \theta:
F = \sqrt{F_{Jx}^{2} + F_{Jy}^{2}} = \sqrt{(250-500\cos\theta)^{2} + (-500\sin\theta - 200)^{2}}\\ \mathrm{N}.
Observação prática: os sinais indicam direção. Um F_{Jx} negativo significa força para a esquerda; F_{Jy} negativo significa força para baixo. Estas expressões permitem calcular imediatamente as componentes quando você conhecer o ângulo \theta da saída (tudo o que falta para um resultado numérico).

Passo 6

Exemplos numéricos (apenas para ilustrar como usar as expressões acima; estes casos são hipóteses de ângulo comuns — eu não as inventei para substituir a figura, apenas mostro como proceder):
  • Caso A: saída com mesma direção da entrada ( \theta=0^\circ, fluxo não é desviado).
    • \cos 0^\circ=1,\\ \sin 0^\circ=0.
    • F_{Jx}=250-500\cdot 1 = -250\\ \mathrm{N} (isto é, 250\\ \mathrm{N} para a esquerda).
    • F_{Jy}=-500\cdot 0 -200 = -200\\ \mathrm{N} (isto é, 200\\ \mathrm{N} para baixo).
    • F=\sqrt{(-250)^{2}+(-200)^{2}}\approx 320,16\\ \mathrm{N}.
  • Caso B: saída virada vertical para baixo (desvio de 90^\circ para baixo, isto é \theta=-90^\circ ou \theta=270^\circ; escolhemos \theta=-90^\circ):
    • \cos(-90^\circ)=0,\\ \sin(-90^\circ)=-1.
    • F_{Jx}=250-500\cdot 0 = 250\\ \mathrm{N} (direção para a direita).
    • F_{Jy}=-500\cdot(-1) -200 = 500-200 = 300\\ \mathrm{N} (direção para cima).
    • F=\sqrt{250^{2}+300^{2}}\approx 390,51\\ \mathrm{N}.
Esses exemplos mostram como as expressões são utilizadas; trocando \theta pela orientação real do escoamento na sua figura você obtém os valores certos.

Resposta

F_{x}=250-500\cos\theta\\ \mathrm{N}\n
F_{y}=-500\sin\theta-200\\ \mathrm{N}\n
F=\sqrt{(250-500\cos\theta)^{2}+(-500\sin\theta-200)^{2}}\\ \mathrm{N}

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