9.2 No trecho de uma instalação existem uma válvula de gaveta, uma válvula tipo globo e uma curva 90^{\circ}. Sendo a tubulação de aço de diâmetro 2^{\prime \prime},determinar a perda de carga, sabendo que a vazão é 2 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e que o comprimento do trecho é 30 cm . Considere: v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s};
\varepsilon_{\text {aço }}=4,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m} ; \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}ç

Passo 1

O enunciado pede para determinar a perda de carga (head loss) num trecho de tubulação de aço que contém uma válvula de gaveta, uma válvula tipo globo e uma curva de 90^\circ. As informações fornecidas são:
\begin{aligned} &\text{diâmetro da tubulação: }D=2'' \\\ &\text{vazão volumétrica: }Q=2\\ \mathrm{L/s} \\\ &\text{comprimento do trecho: }L=30\\ \mathrm{cm} \\\ &\nu=10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} \\\ &\varepsilon_{\text{aço}}=4{,}5\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m} \\\ &g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. \end{aligned}âçããéç
Pergunta principal: determinar a perda de carga total (em metros de coluna de fluido) no trecho descrito.

Passo 2

Converter unidades para o SI e calcular a área da seção e a velocidade média do fluido.
\begin{aligned} &D = 2'' = 2\cdot 0{,}0254\\ \mathrm{m} = 0{,}0508\\ \mathrm{m},\\[4pt] &L = 30\\ \mathrm{cm} = 0{,}30\\ \mathrm{m},\\[4pt] &Q = 2\\ \mathrm{L/s} = 2\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 0{,}002\\ \mathrm{m^{3}/s}. \end{aligned}
Área da seção (círculo):
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Calcular numericamente:
\begin{aligned} &D^{2}=(0{,}0508)^{2}=0{,}00258064\\ \mathrm{m^{2}},\\\ &A=\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}00258064 \approx 0{,}002026\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média:
U=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}002}{0{,}002026}\approx 0{,}987\\ \mathrm{m/s}.]

Passo 3

Determinar o número de Reynolds para identificar o regime de escoamento e calcular a rugosidade relativa.
Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{U D}{\nu},
onde \mathrm{Re} é adimensional, U é a velocidade média (m/s), D é o diâmetro (m) e \nu é a viscosidade cinemática (m^{2}/s).
Calculando:
\mathrm{Re}=\frac{0{,}987\cdot 0{,}0508}{10^{-6}}\approx 5{,}01\cdot 10^{4}.
Como \mathrm{Re}\gg 4000, o escoamento é turbulento. A rugosidade relativa é
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{4{,}5\cdot 10^{-5}}{0{,}0508}\approx 8{,}86\cdot 10^{-4}.

Passo 4

Calcular o fator de atrito f (Darcy) para o atrito uniforme usando uma fórmula explícita apropriada para escoamento turbulento em tubos rugosos. A perda por atrito (maior) será dada por Darcy–Weisbach:
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{U^{2}}{2g},
onde f é o fator de atrito (adimensional), L e D estão em metros, U em m/s, g em m/s^{2}.
Para obter f de forma explícita usamos a fórmula de Swamee–Jain (válida para regime turbulento):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Agora calculamos os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{4{,}5\cdot10^{-5}}{3{,}7\cdot 0{,}0508}\approx 2{,}40\cdot10^{-4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx \frac{5{,}74}{(5{,}01\cdot10^{4})^{0{,}9}}\approx 3{,}37\cdot10^{-4}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 5{,}77\cdot10^{-4}.
Tomando logaritmo e aplicando Swamee–Jain:
f\approx \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}(5{,}77\cdot10^{-4})\right]^{2}}\approx 0{,}0238.
Breve explicação didática: o fator f mede a resistência por atrito do escoamento ao longo do comprimento da tubulação. Em escoamentos totalmente turbulentos a rugosidade do material entra diretamente e por isso usamos a combinação rugosidade + Reynolds na fórmula acima.

Passo 5

Calcular a perda por atrito (maior) usando os valores obtidos.
Primeiro calcular U^{2}/(2g):
\frac{U^{2}}{2g}=\frac{(0{,}987)^{2}}{2\cdot 9{,}8}\approx \frac{0{,}974}{19{,}6}\approx 0{,}0497\\ \mathrm{m}.
Calculamos L/D:
\frac{L}{D}=\frac{0{,}30}{0{,}0508}\approx 5{,}906.
Agora:
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{U^{2}}{2g}\approx 0{,}0238\cdot 5{,}906\cdot 0{,}0497\approx 0{,}0070\\ \mathrm{m}.
Comentário: como o trecho é muito curto ( L/D pequeno), a perda por atrito ao longo do comprimento fica pequena.

Passo 6

Calcular as perdas localizadas (menores) causadas pela válvula de gaveta, válvula tipo globo e curva 90^\circ.
Conceito: cada singularidade (válvula, curva, etc.) impõe uma perda de carga do tipo
h_{k}=K\cdot\frac{U^{2}}{2g},
onde K é o coeficiente de perda localizado (adimensional). A perda total por singularidades é a soma dos h_{k}.
Como o enunciado não fornece os valores de K, usamos valores típicos de tabelas de hidráulica (valores comumente adotados em exercícios e tabelas de referência):
\begin{aligned} &K_{\text{válvula de gaveta (aberta)}}\approx 0{,}2,\\\ &K_{\text{válvula tipo globo}}\approx 10,\\\ &K_{\text{curva }90^\circ}\approx 0{,}3. \end{aligned}áá
Observação didática: a válvula tipo globo tem perda muito maior que a gaveta porque a geometria interna cria maior dissipação; por isso seu K é grande e normalmente domina as perdas localizadas.
Somando os K:
\sum K = 0{,}2 + 10 + 0{,}3 = 10{,}5.
Agora a perda localizada total:
h_{m}=\left(\sum K\right)\frac{U^{2}}{2g}=10{,}5\cdot 0{,}0497\approx 0{,}522\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Somar perda por atrito (maior) e perdas localizadas (menores) para obter a perda de carga total do trecho:
h_{\text{total}}=h_{f}+h_{m}\approx 0{,}0070 + 0{,}522 \approx 0{,}529\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: a maior parte da perda vem da válvula tipo globo, por isso mesmo um trecho curto apresentou perda total da ordem de meio metro de coluna d’água. Isso é comum: válvulas e acessórios podem dominar a perda em trechos curtos.

Resposta

h_{\text{total}}=0{,}53\\ \mathrm{m}

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