9.1 Calcule a perda de carga que ocorre em uma tubulação de ferro fundido com seção quadrada de 20 cm de lado de 1200 m de comprimento quando é percorrida por uma vazão de 50 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água. Considere: v_{\mathrm{h} 20}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}; \varepsilon_{\text {ferro }}=2,5 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a perda de carga (em metros de coluna d’água) numa tubulação de ferro fundido de seção quadrada, sob as seguintes informações fornecidas pelo enunciado:
  • lado da seção quadrada: \;0,20\\ \mathrm{m}
  • comprimento da tubulação: \;1200\\ \mathrm{m}
  • vazão de água: \;50\\ \mathrm{L/s}
  • viscosidade cinemática da água: \;v_{h20}=10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}
  • rugosidade absoluta do ferro: \;\varepsilon_{\text{ferro}}=2,5\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}
  • aceleração da gravidade: \;g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}
O que se pede explicitamente: calcular a perda de carga total ao longo dos \;1200\\ \mathrm{m} da tubulação quando a vazão é \;50\\ \mathrm{L/s}.

Passo 2

Converter e calcular grandezas geométricas básicas da seção quadrada.
  • Converter a vazão para unidades SI:
Q = 50\\ \mathrm{L/s} = 0,05\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Área da seção (lado a=0,20\\ \mathrm{m}):
A = a^{2} = (0,20)^{2} = 0,04\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado:
P = 4a = 4\cdot 0,20 = 0,80\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro hidráulico (para seções não circulares usa-se D_{h}=4A/P):
D_{h} = \frac{4A}{P} = \frac{4\cdot 0,04}{0,80} = 0,20\\ \mathrm{m}.
Observação útil: para um quadrado o diâmetro hidráulico coincide com o lado.

Passo 3

Calcular a velocidade média do escoamento (velocidade média V é vazão dividida pela área):
V = \frac{Q}{A} = \frac{0,05}{0,04} = 1,25\\ \mathrm{m/s}.
Explanação curta: na prova, sempre que pedirem velocidade média em condutos, use V=Q/A. Aqui é direto porque a vazão é média e a seção é constante.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds para identificar o regime de escoamento:
\mathrm{Re} = \frac{V D_{h}}{\nu} = \frac{1,25\cdot 0,20}{10^{-6}} = \frac{0,25}{10^{-6}} = 250\,000.
Interpretação: \mathrm{Re}=2{,}5\cdot 10^{5}, portanto o escoamento é claramente turbulento (pois \mathrm{Re}\gg 4000). Isso nos diz que a rugosidade relativa e a fórmula para fator de atrito turbulento importam.

Passo 5

Escolher fórmula para o fator de atrito f. Como o enunciado não exige método específico, usamos a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga:
h_{f} = f\cdot\frac{L}{D_{h}}\cdot\frac{V^{2}}{2g}.
Para determinar f em regime turbulento com rugosidade conhecida, podemos usar a equação implícita de Colebrook ou uma aproximação explícita. Para agilizar e evitar iteração na prova, uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (aceita em provas e muito prática):
f = 0{,}25\bigg[\log_{10}\!\Big(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_{h}} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Big)\bigg]^{-2}.
Aqui:
  • \varepsilon é a rugosidade absoluta,
  • D_{h} é o diâmetro hidráulico,
  • \mathrm{Re} é o número de Reynolds.
    Expliquei a escolha: Swamee–Jain é derivada como aproximação da Colebrook e é prática sem iteração.

Passo 6

Calcular os termos necessários para Swamee–Jain.
  • Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D_{h}} = \frac{2{,}5\cdot 10^{-4}}{0,20} = 0{,}00125.
  • Primeiro termo dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_{h}} = \frac{0{,}00125}{3{,}7} \approx 0{,}00033784.
  • Calcular \mathrm{Re}^{0{,}9}:
\mathrm{Re}^{0{,}9} = (2{,}5\cdot 10^{5})^{0{,}9} \approx 7{,}2149\cdot 10^{4}.
  • Segundo termo dentro do logaritmo:
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{7{,}2149\cdot 10^{4}} \approx 0{,}00007955.
  • Soma dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_{h}} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 0{,}00033784 + 0{,}00007955 = 0{,}00041739.

Passo 7

Calcular o fator de atrito f com Swamee–Jain:
f = 0{,}25\big[\log_{10}(0{,}00041739)\big]^{-2}.
Calcular o logaritmo:
\log_{10}(0{,}00041739) \approx -3{,}37902.
Elevar ao quadrado e aplicar:
f \approx 0{,}25\big(-3{,}37902\big)^{-2} = \frac{0{,}25}{(3{,}37902)^{2}} \approx \frac{0{,}25}{11{,}4236} \approx 0{,}02188.
Comentário prático: anote f\approx 0{,}0219. Em provas, arredondar o fator para 3 casas significativas é comum.

Passo 8

Calcular a perda de carga total usando Darcy–Weisbach.
  • Primeiro calcule \dfrac{L}{D_{h}}:
\frac{L}{D_{h}} = \frac{1200}{0,20} = 6000.
  • Calcule \dfrac{V^{2}}{2g}:
\frac{V^{2}}{2g} = \frac{(1{,}25)^{2}}{2\cdot 9{,}81} = \frac{1{,}5625}{19{,}62} \approx 0{,}079663\\ \mathrm{m}.
  • Agora a perda de carga:
h_{f} = f\cdot\frac{L}{D_{h}}\cdot\frac{V^{2}}{2g} \approx 0{,}02188\cdot 6000\cdot 0{,}079663.
  • Multiplicando:
6000\cdot 0{,}079663 \approx 477{,}978,
h_{f} \approx 0{,}02188\cdot 477{,}978 \approx 10{,}46\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Interpretação final e checagem rápida: o resultado indica que, para a vazão dada, a carga perdida por atrito ao longo dos \;1200\\ \mathrm{m} é da ordem de dez metros de coluna d’água — um valor razoável para um conduto longo e com rugosidade moderada. Se você precisar do resultado em energia específica (J/kg) multiplicaria por g, mas normalmente pede-se em metros de coluna d’água.

Resposta

h_{f}\approx 10{,}46\\ \mathrm{m}

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