10 Determinar o triângulo total das potências para as três cargas seguintes: carga 1,5 \mathrm{~kW} com fator de potência 0,8 atrasado; carga 2,4 \mathrm{VA} com Q de 2 kVAR adiantado; carga 3,6 \mathrm{kVA} com fator de potência 0,9 atrasado.
Resp.: P=13,8641 \mathrm{~kW} ; Q=4,3653 \mathrm{kVAR} ; N=14,5341 \mathrm{KVA} ; \cos \varphi=0,9538 (atrasado)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Carga 1: potência ativa P_1 = 5\\ \text{kW} com fator de potência \text{pf}_1 = 0,8 atrasado.
  • Carga 2: potência aparente S_2 = 4\\ \text{kVA} com reativa Q_2 = 2\\ \text{kVAR} adiantado.
  • Carga 3: potência aparente S_3 = 6\\ \text{kVA} com fator de potência \text{pf}_3 = 0,9 atrasado.
O enunciado pede o triângulo total de potências, ou seja:
  • Potência ativa total P (em kW);
  • Potência reativa total Q (em kVAR), com sinal indicando adiantado/atrasado;
  • Potência aparente total N (em kVA);
  • Fator de potência total \cos\varphi e se é atrasado ou adiantado.
Observação sobre sinal de Q: “atrasado” (corrente atrasada em relação à tensão) significa carga indutiva → Q>0. “Adiantado” significa carga capacitiva (ou geração reativa) → Q<0. Para a carga 2, o enunciado diz Q_2=2\\ \text{kVAR} adiantado, então usarei Q_2=-2\\ \text{kVAR}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (mini-aula rápida, bem mastigada):
  • Potência complexa de uma carga: \displaystyle S = P + jQ, onde:
    • P é a potência ativa (em kW), componente real;
    • Q é a potência reativa (em kVAR), componente imaginária;
    • |S| = N é a potência aparente (em kVA).
  • Relações úteis: N = |S| = \sqrt{P^{2}+Q^{2}}, \qquad \cos\varphi = \frac{P}{N}.
  • Se conhecemos P e o fator de potência \text{pf}=\cos\varphi, então N=\frac{P}{\text{pf}},\qquad Q=\sqrt{N^{2}-P^{2}}.
  • Se conhecemos N e Q, então P=\sqrt{N^{2}-Q^{2}}.
Vou aplicar essas fórmulas para cada carga para obter P_i e Q_i (com o sinal correto) e depois somar vetorialmente (real e imaginário) para obter o total.

Passo 3

Cálculo da carga 1 (dados: P_1=5\\ \text{kW}, \text{pf}_1=0,8 atrasado).
  • Primeiro a potência aparente: S_1=\frac{P_1}{\text{pf}_1}=\frac{5}{0,8}=6,25\\ \text{kVA}.
  • Em seguida a reativa (como é atrasado, Q_1>0): Q_1=\sqrt{S_1^{2}-P_1^{2}}=\sqrt{6,25^{2}-5^{2}}=\sqrt{39,0625-25}=\sqrt{14,0625}=3,75\\ \text{kVAR}.
Portanto para a carga 1: S_1=6,25\\ \text{kVA}, P_1=5\\ \text{kW}, Q_1=+3,75\\ \text{kVAR}.

Passo 4

Cálculo da carga 2 (dados: S_2=4\\ \text{kVA}, Q_2=2\\ \text{kVAR} adiantado).
  • Como é adiantado, tomo Q_2=-2\\ \text{kVAR}.
  • A potência ativa é P_2=\sqrt{S_2^{2}-Q_2^{2}}=\sqrt{4^{2}-(-2)^{2}}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3,4641016\\ \text{kW}.
  • Observação: o fator de potência desta carga seria \text{pf}_2=P_2/S_2\approx 0,8660 (adiantado).
    Portanto para a carga 2: S_2=4\\ \text{kVA}, P_2\approx 3,4641016\\ \text{kW}, Q_2=-2\\ \text{kVAR}.

Passo 5

Cálculo da carga 3 (dados: S_3=6\\ \text{kVA}, \text{pf}_3=0,9 atrasado).
  • Potência ativa: P_3=S_3\cdot\text{pf}_3=6\cdot 0,9=5,4\\ \text{kW}.
  • Potência reativa (atrasado → Q_3>0): Q_3=\sqrt{S_3^{2}-P_3^{2}}=\sqrt{6^{2}-5,4^{2}}=\sqrt{36-29,16}=\sqrt{6,84}=6\sqrt{0,19}\approx 2,6153394\\ \text{kVAR}.
Portanto para a carga 3: S_3=6\\ \text{kVA}, P_3=5,4\\ \text{kW}, Q_3\approx +2,6153394\\ \text{kVAR}.

Passo 6

Somar as potências (soma vetorial: somar partes reais P e imaginárias Q separadamente).
  • Potência ativa total: P = P_1 + P_2 + P_3 = 5 + 3,4641016 + 5,4 = 13,8641016\\ \text{kW}.Arredondando para 4 casas decimais: P\approx 13,8641\\ \text{kW}.
  • Potência reativa total: Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 3,75 + (-2) + 2,6153394 = 4,3653394\\ \text{kVAR}.Arredondando para 4 casas decimais: Q\approx 4,3653\\ \text{kVAR} (positivo → atraso geral).

Passo 7

Calcular a potência aparente total N e o fator de potência total \cos\varphi.
  • Potência aparente total: N=\sqrt{P^{2}+Q^{2}} =\sqrt{13,8641016^{2}+4,3653394^{2}} \approx 14,5341\\ \text{kVA}.(arredondado para 4 casas decimais).
  • Fator de potência total: \cos\varphi=\frac{P}{N}=\frac{13,8641016}{14,5341}\approx 0,9538.
Como Q>0, o fator é atrasado (indutivo).

Passo 8

Resumo interpretativo rápido (para a prova):
  • Monte para cada carga o par (P_i,Q_i) lembrando do sinal de Q conforme atraso/adiantado.
  • Some todas as P_i para obter P e some todas as Q_i (com sinais) para obter Q.
  • Use N=\sqrt{P^{2}+Q^{2}} e \cos\varphi=P/N.
    Isso resolve qualquer problema de soma de cargas em um mesmo barramento.

Resposta

P=13,8641\\ \text{kW}
Q=4,3653\\ \text{kVAR}
N=14,5341\\ \text{kVA}
\cos\varphi=0,9538 (atrasado)

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