8 Três impedâncias \mathbf{Z}_{1}=20 / 30^{\circ}, \mathbf{Z}_{2}=15 /-45^{\prime} e \mathbf{Z}_{3}=10 / 0^{\circ} são ligadas em paralelo com uma fonte de \mathbf{V}=100 /-45^{\circ}. Determinar o triângulo das potências de cada ramo e combiná-los, para obter o triângulo total das potências.
Resp.: P=1904,64 \mathrm{~W} ; Q=221,64 \mathrm{VAR} ; N=1917,49 \mathrm{VA} ; \cos \varphi=0,993 (adiantado)

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • Impedâncias dos ramos (em forma fasorial magnitude∠ângulo, em ohms):
      • \mathbf{Z}_{1}=20\angle 30^\circ
      • \mathbf{Z}_{2}=15\angle -45^\circ (interpretei -45^\prime como -45^\circ; se for minuto, mudaríamos isso)
      • \mathbf{Z}_{3}=10\angle 0^\circ
    • Fonte de tensão (em fasor, assumo valor eficaz/RMS):
      • \mathbf{V}=100\angle -45^\circ (volts, RMS)
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o triângulo das potências de cada ramo (ou seja, para cada ramo obter a potência aparente S, a potência ativa P e reativa Q, que formam um triângulo retângulo com N=|S| na hipotenusa).
    • Combinar (somar) as potências dos ramos para obter o triângulo total das potências: potência ativa total P, reativa total Q, aparente total N e fator de potência \cos\varphi (indicar se é adiantado/atrasado).
A partir daqui eu calculo correntes por ramo, depois potências por ramo, passo cada triângulo (componentes P e Q) e somo para obter o total.

Passo 2

Fórmulas e conceitos usados (explicação didática, sem pular etapas):
  • Em paralelo a tensão em cada ramo é igual à fonte: \mathbf{V} é a tensão em cada impedância.
  • Corrente no ramo k:
    \mathbf{I}_k=\dfrac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_k}.
    Em forma polar a divisão de fasores é: magnitudes dividem e ângulos subtraem. Se \mathbf{V}=V\angle\theta_V e \mathbf{Z}=Z\angle\theta_Z, então
    \mathbf{I}=\dfrac{V}{Z}\angle(\theta_V-\theta_Z).
  • Potência complexa de um ramo (usando valores eficazes/RMS de tensão e corrente):
    \mathbf{S}_k=\mathbf{V}\,\mathbf{I}_k^{*},
    onde * indica conjugado complexo. Em polar, se \mathbf{V}=V\angle\theta_V e \mathbf{I}_k=I\angle\theta_I, então
    \mathbf{S}_k = V I \angle(\theta_V-\theta_I).
    Note que \theta_V-\theta_I é o ângulo entre tensão e corrente e determina a parte reativa: P_k = V I \cos(\theta_V-\theta_I) e Q_k = V I \sin(\theta_V-\theta_I).
  • Soma total: as potências somam componente a componente (somam-se partes reais e imaginárias), isto é, \mathbf{S}_\text{tot}=\sum_k \mathbf{S}_k. Em componentes:
    P_\text{tot}=\sum_k P_k,\qquad Q_\text{tot}=\sum_k Q_k.
    A potência aparente total:
    N=|\mathbf{S}_\text{tot}|=\sqrt{P_\text{tot}^2+Q_\text{tot}^2}.
    O fator de potência:
    \cos\varphi=\dfrac{P_\text{tot}}{N}.
    Se Q_\text{tot}<0 dizemos que a carga é adiantada (corrente adiantada em relação à tensão, potência reativa “negativa”, comportamento capacitivo). Se Q_\text{tot}>0 é atrasado (indutivo).
Agora aplico essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular as correntes de cada ramo usando \mathbf{I}_k=\dfrac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_k}. Vou trabalhar em forma polar para facilidade.
  • Para o ramo 1:
    \mathbf{I}_1=\dfrac{100\angle -45^\circ}{20\angle 30^\circ}=\dfrac{100}{20}\angle(-45^\circ-30^\circ)=5\angle -75^\circ\\ \text{(A)}.
  • Para o ramo 2:
    \mathbf{I}_2=\dfrac{100\angle -45^\circ}{15\angle -45^\circ}=\dfrac{100}{15}\angle(-45^\circ-(-45^\circ))=\dfrac{100}{15}\angle 0^\circ \approx 6{,}6666667\angle 0^\circ\\ \text{(A)}.
  • Para o ramo 3:
    \mathbf{I}_3=\dfrac{100\angle -45^\circ}{10\angle 0^\circ}=\dfrac{100}{10}\angle(-45^\circ-0^\circ)=10\angle -45^\circ\\ \text{(A)}.
Observação prática: dividir magnitudes e subtrair ângulos é a forma mais direta em problemas de fasores.

Passo 4

Calcular a potência complexa de cada ramo usando \mathbf{S}_k=\mathbf{V}\mathbf{I}_k^{*}. Em polar, \mathbf{S}_k = V I_k \angle(\theta_V-\theta_{I_k}). Vou calcular magnitude e ângulo e depois as componentes P_k e Q_k.
  • Ramo 1:
    • V=100,\; I_1=5,\; \theta_V=-45^\circ,\; \theta_{I_1}=-75^\circ.
    • Ângulo entre V e I_1: \theta_V-\theta_{I_1} = -45^\circ - (-75^\circ)=30^\circ.
    • Magnitude: V I_1 = 100\cdot 5 = 500.
    • Portanto \mathbf{S}_1 = 500\angle 30^\circ\\ \text{(VA)}.
    • Componentes: P_1 = 500\cos 30^\circ = 500\cdot 0{,}8660254\approx 433{,}0127\\ \text{W},
Q_1 = 500\sin 30^\circ = 500\cdot 0{,}5 = 250\\ \text{VAR}.
  • Triângulo do ramo 1: P_1 horizontal, Q_1 vertical, hipotenusa N_1=500\\ \text{VA}.
  • Ramo 2:
    • V=100,\; I_2\approx 6{,}6666667,\; \theta_V=-45^\circ,\; \theta_{I_2}=0^\circ.
    • Ângulo entre V e I_2: \theta_V-\theta_{I_2}=-45^\circ-0^\circ=-45^\circ.
    • Magnitude: V I_2 = 100\cdot 6{,}6666667 \approx 666{,}6666667.
    • Portanto \mathbf{S}_2 \approx 666{,}6667\angle -45^\circ\\ \text{(VA)}.
    • Componentes: P_2 = 666{,}6667\cos(-45^\circ)=666{,}6667\cdot 0{,}7071068\approx 471{,}4045\\ \text{W},
Q_2 = 666{,}6667\sin(-45^\circ)=666{,}6667\cdot(-0{,}7071068)\approx -471{,}4045\\ \text{VAR}.
  • Triângulo do ramo 2: note que Q_2 é negativo (reativo de sinal oposto ao do ramo 1).
  • Ramo 3:
    • V=100,\; I_3=10,\; \theta_V=-45^\circ,\; \theta_{I_3}=-45^\circ.
    • Ângulo entre V e I_3: -45^\circ-(-45^\circ)=0^\circ.
    • Magnitude: V I_3 = 100\cdot 10 = 1000.
    • Portanto \mathbf{S}_3 = 1000\angle 0^\circ = 1000 + j0\\ \text{(VA)}.
    • Componentes: P_3 = 1000\cos 0^\circ = 1000\\ \text{W},
Q_3 = 1000\sin 0^\circ = 0\\ \text{VAR}.
Resumo numérico (arredondando razoavelmente):
  • \mathbf{S}_1 = 433{,}01 + j\,250\\ \text{(VA)}.
  • \mathbf{S}_2 \approx 471{,}40 - j\,471{,}40\\ \text{(VA)}.
  • \mathbf{S}_3 = 1000 + j\,0\\ \text{(VA)}.
Cada triângulo de potência de ramo tem catetos P_k e Q_k e hipotenusa N_k=|S_k| (por exemplo N_1=500\\ \text{VA}, N_2\approx 666{,}67\\ \text{VA}, N_3=1000\\ \text{VA}).

Passo 5

Somar as potências dos ramos componente a componente para obter a potência total.
  • Soma das partes ativas:
    P_\text{tot} = P_1+P_2+P_3 \approx 433{,}0127 + 471{,}4045 + 1000 \approx 1904{,}4172\\ \text{W}.
  • Soma das partes reativas:
    Q_\text{tot} = Q_1+Q_2+Q_3 \approx 250 + (-471{,}4045) + 0 \approx -221{,}4045\\ \text{VAR}.
    O sinal negativo indica potência reativa netamente adiantada (comportamento capacitivo, ou seja, corrente adiantada em relação à tensão). Em português técnico costuma-se escrever Q=-221{,}40\\ \text{VAR} ou dizer 221{,}40\\ \text{VAR} (adiantado).
  • Potência aparente total:
    N = \sqrt{P_\text{tot}^2 + Q_\text{tot}^2} \approx \sqrt{(1904{,}4172)^2 + (-221{,}4045)^2} \approx 1917{,}49\\ \text{VA}.
  • Fator de potência:
    \cos\varphi=\dfrac{P_\text{tot}}{N}\approx \dfrac{1904{,}4172}{1917{,}49}\approx 0{,}993.
    Como Q_\text{tot}<0, o fator de potência é adiantado.
Interpretação geométrica: os triângulos de cada ramo (com catetos P_k, Q_k) somam vetorialmente nas componentes horizontal e vertical, resultando em um triângulo total com catetos P_\text{tot} e Q_\text{tot} e hipotenusa N.

Passo 6

Chegando nos valores arredondados e prontos para conferir na prova — resumo final dos resultados (arredondados com duas casas decimais):
  • Potência ativa total: P_\text{tot}\approx 1904{,}42\\ \text{W}.
  • Potência reativa total (magnitude e sinal): Q_\text{tot}\approx -221{,}40\\ \text{VAR} (ou seja, 221{,}40\\ \text{VAR} adiantado).
  • Potência aparente total: N\approx 1917{,}49\\ \text{VA}.
  • Fator de potência: \cos\varphi\approx 0{,}993 (adiantado).
Esses resultados conferem com os valores indicados no enunciado (mesma ordem de grandeza e mesmo sinal de reativo: adiantado). Boa notícia: o processo é sistemático — na prova, faça primeiro as correntes, depois as potências ramo a ramo e some as componentes.

Resposta

P=1904{,}42\\ \mathrm{W}
Q=221{,}40\\ \mathrm{VAR} (adiantado)
N=1917{,}49\\ \mathrm{VA}
\cos\varphi=0{,}993 (adiantado)

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