(10) Determine o domínio de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há um termo do tipo
; isso impõe que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo. - Há um termo
; isso impõe que o argumento da arcsin esteja no intervalo (inclusive). - O argumento do logaritmo é a fração
, que tem denominador , portanto (para evitar divisão por zero).
Estas são as condições que teremos de combinar para obter o domínio.
Passo 2
Condição vinda do logaritmo: escrever a exigência e identificar pontos críticos.
A exigência é
Os pontos em que o sinal da razão pode mudar são as raízes do numerador e do denominador:
(zera o numerador) e
(anula o denominador). Esses dois valores dividem a reta em três intervalos para testar o sinal da expressão.
Passo 3
Análise de sinais da razão por intervalos (método do quadro de sinais, explicado):
- Para
: numerador , denominador ⇒ razão . - Para
: numerador , denominador ⇒ razão . - Para
: numerador , denominador ⇒ razão .
Conclusão: a desigualdade
é satisfeita para
Lembrando que
está excluído de qualquer forma por anular o denominador, e
também não pode ser incluído porque aí a razão vale
(e
não existe).
Passo 4
Condição vinda da
: escrever a exigência e simplificar.
A exigência é
Multiplicando tudo por
(operações com inequações preservam a ordem pois
), obtemos
Portanto a parte da
exige
.
Passo 5
Interseção das duas condições (domínio é os
que satisfazem ambas):
Temos
para o logaritmo e
para a
. Intersecionando conjunto a conjunto:
-
, porque inclui (verificação: e é permitido) e exclui . -
, porque inclui (verificação: e é permitido) e exclui (pois aí o log tem argumento zero).
Assim a interseção é
Passo 6
Checagem final dos pontos limites (sempre bom confirmar nos exercícios de prova):
-
: e → ambos válidos; então pertence ao domínio. -
: denominador zero → excluído. -
: numerador zero → indefinido → excluído. -
: e → ambos válidos; então pertence ao domínio.
Portanto a resposta está consistente com as verificações.