(10) Determine o domínio de f(x)=\ln \left(\frac{x-1}{x+2}\right)+\arcsin \left(\frac{x}{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\ln\!\left(\frac{x-1}{x+2}\right)+\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há um termo do tipo \ln(\cdot); isso impõe que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo.
  • Há um termo \arcsin(\cdot); isso impõe que o argumento da arcsin esteja no intervalo [-1,1] (inclusive).
  • O argumento do logaritmo é a fração \dfrac{x-1}{x+2}, que tem denominador x+2, portanto x\neq -2 (para evitar divisão por zero).
    Estas são as condições que teremos de combinar para obter o domínio.

Passo 2

Condição vinda do logaritmo: escrever a exigência e identificar pontos críticos.
A exigência é
\frac{x-1}{x+2}>0.
Os pontos em que o sinal da razão pode mudar são as raízes do numerador e do denominador: x=1 (zera o numerador) e x=-2 (anula o denominador). Esses dois valores dividem a reta em três intervalos para testar o sinal da expressão.

Passo 3

Análise de sinais da razão por intervalos (método do quadro de sinais, explicado):
  • Para x>1: numerador x-1>0, denominador x+2>0 ⇒ razão >0.
  • Para -2<x<1: numerador x-1<0, denominador x+2>0 ⇒ razão <0.
  • Para x<-2: numerador x-1<0, denominador x+2<0 ⇒ razão >0.
Conclusão: a desigualdade \dfrac{x-1}{x+2}>0 é satisfeita para
x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty).
Lembrando que x=-2 está excluído de qualquer forma por anular o denominador, e x=1 também não pode ser incluído porque aí a razão vale 0 (e \ln 0 não existe).

Passo 4

Condição vinda da \arcsin: escrever a exigência e simplificar.
A exigência é
-1\le\frac{x}{3}\le1.
Multiplicando tudo por 3 (operações com inequações preservam a ordem pois 3>0), obtemos
-3\le x\le 3.
Portanto a parte da \arcsin exige x\in[-3,3].

Passo 5

Interseção das duas condições (domínio é os x que satisfazem ambas):
Temos
(-\infty,-2)\cup(1,\infty)
para o logaritmo e
[-3,3]
para a \arcsin. Intersecionando conjunto a conjunto:
  • (-\infty,-2)\cap[-3,3]=[-3,-2), porque inclui -3 (verificação: \frac{-3-1}{-3+2}=4>0 e \frac{-3}{3}=-1 é permitido) e exclui -2.
  • (1,\infty)\cap[-3,3]=(1,3], porque inclui 3 (verificação: \frac{3-1}{3+2}=\frac{2}{5}>0 e \frac{3}{3}=1 é permitido) e exclui 1 (pois aí o log tem argumento zero).
Assim a interseção é
[-3,-2)\cup(1,3].

Passo 6

Checagem final dos pontos limites (sempre bom confirmar nos exercícios de prova):
  • x=-3: \dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{-4}{-1}=4>0 e \dfrac{x}{3}=-1 → ambos válidos; então -3 pertence ao domínio.
  • x=-2: denominador zero → excluído.
  • x=1: numerador zero → \ln 0 indefinido → excluído.
  • x=3: \dfrac{3-1}{3+2}=\dfrac{2}{5}>0 e \dfrac{3}{3}=1 → ambos válidos; então 3 pertence ao domínio.
Portanto a resposta está consistente com as verificações.

Resposta

[-3,-2)\cup(1,3]

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