(1) Simplifique: \ln \left(\frac{\sqrt{e^{3} \cdot e^{x}}}{e^{2 x}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\ln\!\left(\frac{\sqrt{e^{3}\cdot e^{x}}}{e^{2x}}\right).
Informações dadas:
  • A expressão envolve logaritmo natural \ln, exponenciais e^{\cdot} e raiz quadrada \sqrt{\cdot}.
  • A incógnita é x.
    O objetivo é reescrever essa expressão num formato mais simples — preferivelmente uma expressão algébrica em função de x.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as propriedades que usaremos (sem pular passos):
  • A raiz quadrada pode ser escrita como potência: \sqrt{A}=A^{1/2}. Aqui A é qualquer quantidade positiva.
  • No produto de potências com mesma base vale \,e^{a}\cdot e^{b}=e^{a+b}. Ou seja, somam-se os expoentes.
  • Na divisão de potências com mesma base vale \dfrac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b}. Ou seja, subtrai-se o expoente do denominador.
  • A propriedade da logaritmo natural: \ln(e^{t})=t para todo t real (pois \ln e e^{(\cdot)} são funções inversas).
  • Também útil: \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B e \ln(A^{k})=k\ln A.
    Cada variável/quantidade nas fórmulas acima é um número real (ou expressão real) que aparece nos expoentes; aqui x é um número real.

Passo 3

Primeiro simplificar o que está dentro da raiz:
\sqrt{e^{3}\cdot e^{x}}=\left(e^{3}\cdot e^{x}\right)^{1/2}.
Usando e^{3}\cdot e^{x}=e^{3+x} obtemos
\left(e^{3+x}\right)^{1/2}=e^{(3+x)/2},
pois (e^{a})^{b}=e^{ab}.

Passo 4

Substituindo o numerador simplificado na expressão original:
\frac{\sqrt{e^{3}\cdot e^{x}}}{e^{2x}}=\frac{e^{(3+x)/2}}{e^{2x}}.
Agora aplicamos a regra da divisão de potências com mesma base:
\frac{e^{(3+x)/2}}{e^{2x}}=e^{(3+x)/2-2x}.
Para simplificar o expoente, coloque tudo sobre o mesmo denominador 2:
\frac{3+x}{2}-2x=\frac{3+x-4x}{2}=\frac{3-3x}{2}.
Portanto a fração dentro do logaritmo é e^{(3-3x)/2}.

Passo 5

Aplicando \ln(e^{t})=t ao que sobrou:
\ln\!\left(e^{(3-3x)/2}\right)=\frac{3-3x}{2}.
Podemos factorar 3 se desejar uma forma alternativa:
\frac{3-3x}{2}=\frac{3(1-x)}{2}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x.

Passo 6

Verificação rápida (rota alternativa, para confirmar): usando \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B e \ln(\sqrt{C})=\tfrac{1}{2}\ln C,
\ln\!\left(\frac{\sqrt{e^{3}e^{x}}}{e^{2x}}\right)=\tfrac{1}{2}\ln(e^{3+x})-\ln(e^{2x})=\tfrac{1}{2}(3+x)-2x=\frac{3-3x}{2},
obtendo o mesmo resultado — sinal de que está correto.

Resposta

\dfrac{3-3x}{2}

Exercícios relacionados