(1) Simplifique:
.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas:
- A expressão envolve logaritmo natural
, exponenciais e raiz quadrada . - A incógnita é
.
O objetivo é reescrever essa expressão num formato mais simples — preferivelmente uma expressão algébrica em função de.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as propriedades que usaremos (sem pular passos):
- A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
. Aqui é qualquer quantidade positiva. - No produto de potências com mesma base vale
. Ou seja, somam-se os expoentes. - Na divisão de potências com mesma base vale
. Ou seja, subtrai-se o expoente do denominador. - A propriedade da logaritmo natural:
para todo real (pois e são funções inversas). - Também útil:
e .
Cada variável/quantidade nas fórmulas acima é um número real (ou expressão real) que aparece nos expoentes; aquié um número real.
Passo 3
Primeiro simplificar o que está dentro da raiz:
Usando
obtemos
pois
.
Passo 4
Substituindo o numerador simplificado na expressão original:
Agora aplicamos a regra da divisão de potências com mesma base:
Para simplificar o expoente, coloque tudo sobre o mesmo denominador
:
Portanto a fração dentro do logaritmo é
.
Passo 5
Aplicando
ao que sobrou:
Podemos factorar
se desejar uma forma alternativa:
Passo 6
Verificação rápida (rota alternativa, para confirmar): usando
e
,
obtendo o mesmo resultado — sinal de que está correto.