5.3 O eixo tem diâmetro externo de 1,25 pol e diâmetro interno de 1 pol. Supondo que seja submetido a torques como mostrado, determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nele desenvolvida. Os mancais A e B não resistem a torque.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta desenvolvida no eixo oco. As informações explicitamente dadas no enunciado são:
  • Diâmetro externo: d_o=1,25\\ \text{pol}.
  • Diâmetro interno: d_i=1,0\\ \text{pol}.
  • Os mancais A e B não resistem a torque (ou seja, não fornecem reação de torque).
  • Há torques aplicados “como mostrado” na figura (valores e posições desses torques não foram fornecidos no texto que recebi).
O que o enunciado pergunta: a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo.

Passo 2

Importante: não é possível obter um valor numérico final para a tensão de cisalhamento máxima sem conhecer os valores (e suas direções) e as posições ao longo do eixo dos torques aplicados que o enunciado refere como “mostrados”. Esses dados são necessários porque a tensão de cisalhamento máxima depende do maior valor absoluto do torque interno T que surge em qualquer seção do eixo — e esse torque interno só se determina construindo o diagrama de torque (somando algebricamente os torques externos ao cortar o eixo em diferentes seções). Portanto, para um resultado numérico são necessários:
  • os valores numéricos dos torques aplicados (em \text{lb}\cdot\text{pol} ou \text{N}\cdot\text{m}, etc.);
  • as posições (distâncias) ao longo do eixo onde esses torques atuam;
  • a indicação do sentido (sentidos opostos tratam-se com sinais opostos).
Se você puder me enviar a figura ou esses valores/posições, eu já faço o cálculo numérico. Enquanto isso, abaixo ensino passo a passo como resolver o problema e deixo a fórmula pronta para aplicar quando os torques forem conhecidos.

Passo 3

Teoria essencial (aulas rapidinha e direta):
  • Em torção de eixo circular oco, a tensão de cisalhamento em um ponto a distância radial r do centro, para uma seção submetida a um torque interno T, é dada por
\tau(r)=\dfrac{T\,r}{J},
onde:
  • \tau(r) é a tensão de cisalhamento em \text{lb}/\text{pol}^2 (psi) ou \text{Pa} dependendo das unidades;
  • T é o torque interno naquela seção (com sinal, mas para tensão de máxima absoluta usamos o valor absoluto);
  • r é a distância radial até o ponto onde se avalia a tensão ( 0\le r\le r_o);
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal em \text{pol}^4 (ou \text{m}^4 no SI).
  • A tensão máxima em magnitude ocorre na superfície externa (no raio r=r_o). Assim:
\tau_{\max}=\dfrac{|T|\,r_o}{J}.
  • Para um eixo circular oco com raios externos e internos r_o e r_i,
J=\dfrac{\pi}{2}\bigl(r_o^4-r_i^4\bigr).
Expliquei o que cada símbolo significa acima.

Passo 4

Aplicando às dimensões do problema (passo a passo numérico das dimensões, feito sem assumir torques):
  • Converter diâmetros em raios:
r_o=\dfrac{d_o}{2}=\dfrac{1,25}{2}=0,625\\ \text{pol}, \qquad r_i=\dfrac{d_i}{2}=\dfrac{1,00}{2}=0,50\\ \text{pol}.
  • Calcular r_o^4 e r_i^4:
r_o^4=(0,625)^4=0,625^2\cdot0,625^2=0,390625\cdot0,390625=0,152587890625,
r_i^4=(0,5)^4=0,0625.
  • Subtrair e calcular J:
r_o^4-r_i^4=0,152587890625-0,0625=0,090087890625,
J=\dfrac{\pi}{2}\bigl(r_o^4-r_i^4\bigr)=\dfrac{\pi}{2}\cdot0,090087890625\approx0,14151\\ \text{pol}^4.

Passo 5

Fórmula prática pronta para aplicar:
\tau_{\max}=\dfrac{|T_{\text{seção}}|\,r_o}{J}.çã
Substituindo r_o e J numéricas:
\tau_{\max}\approx \dfrac{|T_{\text{seção}}|\cdot0,625}{0,14151}\approx 4,419\;|T_{\text{seção}}|,çãçã
onde:
  • |T_{\text{seção}}|çã é o maior valor absoluto do torque interno em qualquer seção do eixo, expresso em \text{lb}\cdot\text{pol} (ou \text{lb}\cdot\text{in}); o resultado \tau_{\max} será em \text{lb}/\text{pol}^2 (psi). Se T estiver em outras unidades, cuidar da consistência de unidades.
Como procedimento para a prova (passo a passo para quando tiver a figura com torques):
  1. Desenhe o eixo e marque todas as posições dos torques.
  2. Escolha uma extremidade e vá cortando seções entre cargas; para cada segmento calcule o torque interno T(x) somando algebricamente os torques aplicados à direita ou à esquerda (usar uma convenção de sinal consistente).
  3. Liste os valores de T em cada segmento; determine T_{\max}=\max\{|T(x)|\}.
  4. Use \tau_{\max}=\dfrac{T_{\max}\,r_o}{J} com os valores numéricos de r_o e J dados acima.
    Se quiser, me envie os valores/posições dos torques e eu executo os passos 1–4 e calculo a tensão máxima para você — rapidinho e sem drama.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão de cisalhamento máxima porque os valores e posições dos torques mostrados na figura não foram fornecidos. Em termos gerais:
\displaystyle \tau_{\max}=\dfrac{T_{\max}\,r_o}{J}.
Com r_o=0,625\\ \text{pol} e J\approx0,14151\\ \text{pol}^4,
\displaystyle \tau_{\max}\approx 4,419\;T_{\max} (com T_{\max} em \text{lb}\cdot\text{pol} e \tau_{\max} em \text{psi}).

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