6.10 Uma elevatória está sendo projetada para recalcar
, a uma altura geométrica de
, através de uma adutora de 400 mm de diâmetro, 12 km de comprimento e coeficiente de perda de carga da fórmula Universal igual a 0,022 . A perda de carga localizada prevista é de
. Visando aproveitar uma bomba existente, cujas características, à rotação de 1800 rpm, são mostradas no quadro a seguir, pede-se:
a) o ponto de trabalho;
b) determinar a rotação para que a bomba trabalhe exatamente com a vazão de projeto.
a) o ponto de trabalho;
b) determinar a rotação para que a bomba trabalhe exatamente com a vazão de projeto.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para ficar claro o que temos e o que pedem):
O que o exercício pede:
a) determinar o ponto de trabalho (isto é, vazão e altura em que a bomba existente, a , operará com a adutora dada);\n
b) determinar a rotação necessária para que a bomba trabalhe exatamente com a vazão de projeto .
a) determinar o ponto de trabalho (isto é, vazão e altura em que a bomba existente, a
b) determinar a rotação necessária para que a bomba trabalhe exatamente com a vazão de projeto
Observação importante: o enunciado refere-se a uma curva/característica da bomba mostrada em um quadro que você mencionou, mas esse quadro NÃO foi enviado. A curva da bomba é necessária para calcular numericamente o ponto de trabalho no item (a) e para ajustar a rotação no item (b). Sem essa curva (ou seus coeficientes) não é possível obter os números finais do ponto de trabalho nem a rotação requerida. Vou, portanto, fazer toda a modelagem do sistema hidráulico, calcular a carga do sistema à vazão de projeto, explicar como se encontra o ponto de trabalho e como ajustar a rotação (com as fórmulas usadas na prova). No final deixarei claro que, numericamente, os itens (a) e (b) não podem ser resolvidos sem a curva da bomba; porém mostro tudo o que você precisa fazer assim que tiver essa curva.
Passo 2
Converter unidades e calcular a velocidade média na tubulação (passo obrigatório antes de perdas):
Área da seção transversal da tubulação:
Velocidade média
na tubulação (é importante porque perdas cinéticas usam
):
Passo 3
Explicar a perda de carga por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach / “fórmula universal”) e calcular
.
Conceito rápido: a perda de carga distribuída por atrito em tubulação reta é dada por
onde
-
é o coeficiente de atrito (adimensional) — aqui dado como , -
é o comprimento da tubulação ( ), -
é o diâmetro ( ), -
é a velocidade média ( ), -
é a gravidade ( ).
Calculemos passo a passo:
Interpretação: só a perda por atrito já dá aproximadamente
à vazão de projeto — significativa!
Passo 4
Perdas localizadas: o enunciado já dá a expressão
. Já calculamos
no passo anterior:
Passo 5
Cálculo da carga total do sistema (curva do sistema) na vazão de projeto: soma da altura geométrica com perdas
Substituindo:
Arredondando:
Comentário didático: isto significa que, para empurrar
pela adutora descrita, a bomba precisa fornecer cerca de
de carga. Se a curva da bomba a
tiver o ponto
, então ela consegue; o ponto de operação será o ponto de interseção entre a curva da bomba e esta curva do sistema.
Passo 6
Derivar a expressão geral da curva do sistema
(útil na prova; mostra que a curva do sistema é quadrática em
).
Explicação: tanto
quanto
são proporcionais a
, e
. Então
onde
. Substituindo
,
Definindo a constante
temos a forma prática
onde
deve estar em
para consistência com
em
.
Calculemos
numericamente com nossos números:
Verificação rápida: se
,
, que é a perda total por atrito+local — bate com os números do passo 3–4.
Passo 7
Como se determina o ponto de trabalho (explicação prática / passo a passo para a prova)?
- Escreva a curva do sistema:
(já temos ). - Tenha a curva da bomba a
: (essa curva normalmente é fornecida no quadro em forma de tabela ou gráfico; às vezes pode ser aproximada por um polinômio, por exemplo ). - O ponto de trabalho
é solução da equação
- Procedimento prático:
- Se a curva da bomba for dada por tabela: faça uma interpolação e procure o
para o qual . - Se a curva da bomba puder ser ajustada por uma função (por exemplo
ou polinômio), resolva a equação algébrica resultante (normalmente resulta numa equação polinomial de grau baixo) para . - Alternativamente, faça um gráfico com as duas curvas e leia o ponto de interseção.
- Se a curva da bomba for dada por tabela: faça uma interpolação e procure o
Conclusão para (a): sem a curva
(o “quadro” que não foi enviado) NÃO É POSSÍVEL calcular numericamente
e
. O que posso afirmar numericamente é a carga do sistema na vazão de projeto:
— essa é a informação que você usa para comparar com a curva da bomba.
Passo 8
Como achar a rotação necessária para que a bomba trabalhe exatamente com
(item b) — leis de afinidade e procedimento prático.
Leis de afinidade para bombas geometricamente semelhantes e mesmas curvas (conceito importante na prova):
-
(vazão proporcional à rotação), -
(altura proporcional ao quadrado da rotação), -
(potência proporcional ao cubo da rotação).
Em termos úteis: se a curva da bomba a
é
, então a curva à rotação
é
Procedimento para encontrar
tal que
seja ponto de operação:
- Calcule a carga do sistema em
: (feito: ). - Encontre
tal que . Usando a expressão acima:
Isto é, em geral, uma equação implícita em
. Se a curva
for conhecida numericamente, resolve-se por iteração ou graficamente.
Caso muito comum (e que facilita a conta na prova): a curva da bomba é bem aproximada por
(com
e
em
ou
, mas atenção às unidades). Se esse for o caso, a escala dá uma expressão analítica simples:
Exigindo
dá
Portanto
e finalmente
Ou seja: se a curva da bomba puder ser ajustada na forma
, você extrai
e
(por ajuste dos pontos do quadro) e então essa fórmula dá diretamente a rotação necessária.
Observação prática de unidades: se a curva do fabricante está em
, mantenha
nessa unidade para ajustar
e
consistentemente; ou converta tudo para
— o importante é coerência.
Passo 9
Resumo prático do que você faz quando tiver o quadro com a curva da bomba:
- Use a curva
do quadro; - Trace/compute
com calculado acima; - Encontre interseção para obter o ponto de trabalho (item a);
- Para item (b), calcule
(já fiz: ) e use as leis de afinidade e/ou a fórmula analítica dada no passo 8 (se ajustar por ) para encontrar .
Resposta
(a) Não é possível determinar numericamente o ponto de trabalho porque a curva/característica da bomba a
(o “quadro”) não foi fornecida.
(b) Não é possível determinar numericamente a rotação requerida pela mesma razão (falta da curva da bomba).\n
Observação útil já calculada: a carga do sistema na vazão de projeto é
; com a curva da bomba em mãos você usará esse valor para comparar/ajustar a rotação conforme explicado.
(b) Não é possível determinar numericamente a rotação requerida pela mesma razão (falta da curva da bomba).\n
Observação útil já calculada: a carga do sistema na vazão de projeto