6.10 Uma elevatória está sendo projetada para recalcar 500 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}, a uma altura geométrica de 30,0 \mathrm{m}, através de uma adutora de 400 mm de diâmetro, 12 km de comprimento e coeficiente de perda de carga da fórmula Universal igual a 0,022 . A perda de carga localizada prevista é de 10 U^{2} / 2 g. Visando aproveitar uma bomba existente, cujas características, à rotação de 1800 rpm, são mostradas no quadro a seguir, pede-se:
a) o ponto de trabalho;
b) determinar a rotação para que a bomba trabalhe exatamente com a vazão de projeto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para ficar claro o que temos e o que pedem):
\begin{aligned} &\text{Vazão de projeto: }Q_d = 500\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.\\\ &\text{Altura geométrica (diferença de nível): }z_g = 30,0\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Adutora: }D=400\\ \mathrm{mm}=0,4\\ \mathrm{m},\quad L=12\\ \mathrm{km}=12\,000\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Coeficiente da fórmula universal (perda de carga de atrito): }f=0,022.\\\ &\text{Perdas localizadas previstas: }h_{loc}=10\frac{U^2}{2g}\\ (\text{o enunciado já dá o coeficiente }K_{loc}=10).\\\ &\text{Bomba existente com curva característica a }n_0=1800\\ \mathrm{rpm}\text{ (essa curva estava num quadro não enviado).} \end{aligned}ãéçíóááíã
O que o exercício pede:
a) determinar o ponto de trabalho (isto é, vazão e altura em que a bomba existente, a 1800\\ \mathrm{rpm}, operará com a adutora dada);\n
b) determinar a rotação necessária para que a bomba trabalhe exatamente com a vazão de projeto Q_d.
Observação importante: o enunciado refere-se a uma curva/característica da bomba mostrada em um quadro que você mencionou, mas esse quadro NÃO foi enviado. A curva da bomba é necessária para calcular numericamente o ponto de trabalho no item (a) e para ajustar a rotação no item (b). Sem essa curva (ou seus coeficientes) não é possível obter os números finais do ponto de trabalho nem a rotação requerida. Vou, portanto, fazer toda a modelagem do sistema hidráulico, calcular a carga do sistema à vazão de projeto, explicar como se encontra o ponto de trabalho e como ajustar a rotação (com as fórmulas usadas na prova). No final deixarei claro que, numericamente, os itens (a) e (b) não podem ser resolvidos sem a curva da bomba; porém mostro tudo o que você precisa fazer assim que tiver essa curva.

Passo 2

Converter unidades e calcular a velocidade média na tubulação (passo obrigatório antes de perdas):
Q_d = 500\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}=\frac{500}{3600}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}=0,138888\ldots\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Área da seção transversal da tubulação:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0,4)^2}{4}=\pi\cdot 0,04\approx 0,1256637\\ \mathrm{m}^2.
Velocidade média U na tubulação (é importante porque perdas cinéticas usam U^2):
U=\frac{Q_d}{A}=\frac{0,1388889}{0,1256637}\approx 1,1056\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Explicar a perda de carga por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach / “fórmula universal”) e calcular h_f.
Conceito rápido: a perda de carga distribuída por atrito em tubulação reta é dada por
h_f = f\frac{L}{D}\cdot\frac{U^2}{2g},
onde
  • f é o coeficiente de atrito (adimensional) — aqui dado como 0,022,
  • L é o comprimento da tubulação ( \mathrm{m}),
  • D é o diâmetro ( \mathrm{m}),
  • U é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),
  • g é a gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s}^2).
Calculemos passo a passo:
\frac{U^2}{2g}=\frac{(1,1056)^2}{2\cdot 9,81}\approx 0,06234\\ \mathrm{m}.
\frac{L}{D}=\frac{12\,000}{0,4}=30\,000.
h_f = 0,022\cdot 30\,000\cdot 0,06234 \approx 41,144\\ \mathrm{m}.
Interpretação: só a perda por atrito já dá aproximadamente 41,14\\ \mathrm{m} à vazão de projeto — significativa!

Passo 4

Perdas localizadas: o enunciado já dá a expressão h_{loc}=10\cdot\frac{U^2}{2g}. Já calculamos \frac{U^2}{2g} no passo anterior:
h_{loc}=10\cdot 0,06234\approx 0,6234\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo da carga total do sistema (curva do sistema) na vazão de projeto: soma da altura geométrica com perdas
H_s(Q_d)=z_g + h_f + h_{loc}.
Substituindo:
H_s(Q_d)=30,0 + 41,144 + 0,6234 \approx 71,7674\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
H_s(Q_d)\approx 71,77\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: isto significa que, para empurrar 500\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} pela adutora descrita, a bomba precisa fornecer cerca de 71,77\\ \mathrm{m} de carga. Se a curva da bomba a 1800\\ \mathrm{rpm} tiver o ponto (Q=500\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h},\\ H\ge 71,77\\ \mathrm{m}), então ela consegue; o ponto de operação será o ponto de interseção entre a curva da bomba e esta curva do sistema.

Passo 6

Derivar a expressão geral da curva do sistema H_s(Q) (útil na prova; mostra que a curva do sistema é quadrática em Q).
Explicação: tanto h_f quanto h_{loc} são proporcionais a U^2, e U=Q/A. Então
h_f + h_{loc} = \Big(f\frac{L}{D} + K_{loc}\Big)\frac{U^2}{2g},
onde K_{loc}=10. Substituindo U=Q/A,
h_f + h_{loc} = \Big(f\frac{L}{D} + K_{loc}\Big)\frac{1}{2g}\frac{Q^2}{A^2}.
Definindo a constante
C=\frac{f\frac{L}{D} + K_{loc}}{2gA^2},
temos a forma prática
H_s(Q)=z_g + C\,Q^2,
onde Q deve estar em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} para consistência com A em \mathrm{m}^2.
Calculemos C numericamente com nossos números:
f\frac{L}{D}+K_{loc}=0,022\cdot 30\,000 + 10 = 660 + 10 = 670.
A=\pi\cdot 0,04\approx 0,1256637\\ \mathrm{m}^2\quad\Rightarrow\quad A^2\approx 0,0157914\\ \mathrm{m}^4.
C=\frac{670}{2\cdot 9,81\cdot 0,0157914}\approx 2\,163\\ \frac{\mathrm{m}}{(\mathrm{m}^3/\mathrm{s})^2}.
Verificação rápida: se Q=0,1388889\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, C Q^2\approx 41,77\\ \mathrm{m}, que é a perda total por atrito+local — bate com os números do passo 3–4.

Passo 7

Como se determina o ponto de trabalho (explicação prática / passo a passo para a prova)?
  1. Escreva a curva do sistema: \;H_s(Q)=z_g + C Q^2\; (já temos C).
  2. Tenha a curva da bomba a 1800\\ \mathrm{rpm}: H_p^{1800}(Q) (essa curva normalmente é fornecida no quadro em forma de tabela ou gráfico; às vezes pode ser aproximada por um polinômio, por exemplo H_p^{1800}(Q)=a-bQ^2).
  3. O ponto de trabalho (Q^*,H^*) é solução da equação
H_p^{1800}(Q^*) = H_s(Q^*).
  1. Procedimento prático:
    • Se a curva da bomba for dada por tabela: faça uma interpolação e procure o Q para o qual H_p^{1800}(Q)=H_s(Q).
    • Se a curva da bomba puder ser ajustada por uma função (por exemplo a-bQ^2 ou polinômio), resolva a equação algébrica resultante (normalmente resulta numa equação polinomial de grau baixo) para Q^*.
    • Alternativamente, faça um gráfico com as duas curvas e leia o ponto de interseção.
Conclusão para (a): sem a curva \;H_p^{1800}(Q)\; (o “quadro” que não foi enviado) NÃO É POSSÍVEL calcular numericamente Q^* e H^*. O que posso afirmar numericamente é a carga do sistema na vazão de projeto: \;H_s(500\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h})\approx 71,77\\ \mathrm{m} — essa é a informação que você usa para comparar com a curva da bomba.

Passo 8

Como achar a rotação necessária para que a bomba trabalhe exatamente com Q_d (item b) — leis de afinidade e procedimento prático.
Leis de afinidade para bombas geometricamente semelhantes e mesmas curvas (conceito importante na prova):
  • Q \propto n (vazão proporcional à rotação),
  • H \propto n^2 (altura proporcional ao quadrado da rotação),
  • P \propto n^3 (potência proporcional ao cubo da rotação).
Em termos úteis: se a curva da bomba a n_0 é H_p^{n_0}(Q), então a curva à rotação n é
H_p^{n}(Q) = \left(\frac{n}{n_0}\right)^2 H_p^{n_0}\!\Big(Q\frac{n_0}{n}\Big).
Procedimento para encontrar n tal que Q=Q_d seja ponto de operação:
  1. Calcule a carga do sistema em Q_d: H_s(Q_d) (feito: 71,77\\ \mathrm{m}).
  2. Encontre n tal que H_p^{n}(Q_d)=H_s(Q_d). Usando a expressão acima:
\left(\frac{n}{n_0}\right)^2 H_p^{n_0}\!\Big(Q_d\frac{n_0}{n}\Big) = H_s(Q_d).
Isto é, em geral, uma equação implícita em n. Se a curva H_p^{n_0}(Q) for conhecida numericamente, resolve-se por iteração ou graficamente.
Caso muito comum (e que facilita a conta na prova): a curva da bomba é bem aproximada por
H_p^{n_0}(Q)=a - bQ^2
(com a,b>0 e Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} ou \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, mas atenção às unidades). Se esse for o caso, a escala dá uma expressão analítica simples:
H_p^{n}(Q) = \left(\frac{n}{n_0}\right)^2 a - b Q^2.
Exigindo H_p^{n}(Q_d)=H_s(Q_d)
\left(\frac{n}{n_0}\right)^2 a - b Q_d^2 = H_s(Q_d).
Portanto
\left(\frac{n}{n_0}\right)^2 = \frac{H_s(Q_d)+b Q_d^2}{a},
e finalmente
n = n_0\sqrt{\frac{H_s(Q_d)+b Q_d^2}{a}}.
Ou seja: se a curva da bomba puder ser ajustada na forma a-bQ^2, você extrai a e b (por ajuste dos pontos do quadro) e então essa fórmula dá diretamente a rotação necessária.
Observação prática de unidades: se a curva do fabricante está em \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, mantenha Q nessa unidade para ajustar a e b consistentemente; ou converta tudo para \mathrm{m}^3/\mathrm{s} — o importante é coerência.

Passo 9

Resumo prático do que você faz quando tiver o quadro com a curva da bomba:
  • Use a curva H_p^{1800}(Q) do quadro;
  • Trace/compute H_s(Q)=30,0 + C Q^2 com C calculado acima;
  • Encontre interseção para obter o ponto de trabalho (item a);
  • Para item (b), calcule H_s(Q_d) (já fiz: 71,77\\ \mathrm{m}) e use as leis de afinidade e/ou a fórmula analítica dada no passo 8 (se ajustar H_p^{1800} por a-bQ^2) para encontrar n.

Resposta

(a) Não é possível determinar numericamente o ponto de trabalho porque a curva/característica da bomba a 1800\\ \mathrm{rpm} (o “quadro”) não foi fornecida.
(b) Não é possível determinar numericamente a rotação requerida pela mesma razão (falta da curva da bomba).\n
Observação útil já calculada: a carga do sistema na vazão de projeto Q_d=500\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} é \;H_s(Q_d)\approx 71,77\\ \mathrm{m}; com a curva da bomba em mãos você usará esse valor para comparar/ajustar a rotação conforme explicado.

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