6.3 Uma bomba testada em laboratório apresentou as características mostradas no quadro a seguir. Esta bomba deverá ser utilizada numa estação elevatória cuja altura geométrica é 25 m , ligada a uma adutora com coeficiente de perda de carga da fórmula Universal igual a 0,025 e extensão de 3556 m . As peças, conexões e aparelhos provocam uma perda de carga localizada de 10 \mathrm{U}^{2} / 2 \mathrm{~g}. Pede-se selecionar o diâmetro da tubulação para permitir o escoamento de 80 \mathrm{l} / s e calcular a potência consumida.
Vazão (l/s) 0 20 40 60 80 100 120
Altura manométrica (m) 60 59 57 52 45 35 22
Eficiência (%) - 42 58 71 75 69 54

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
  • Pedem selecionar o diâmetro da tubulação para permitir o escoamento de 80\\ \mathrm{l/s} e calcular a potência consumida pela bomba.\n
  • Dados fornecidos:
    • Vazão: Q=80\\ \mathrm{l/s}=0,08\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Altura geométrica fixa: H_{g}=25\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento da adutora: L=3556\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente da fórmula Universal (para perda por atrito): k=0,025.
    • Perda de carga localizada (peças, conexões, aparelhos): 10\;\dfrac{U^{2}}{2g} (ou seja, um coeficiente multiplicando U^{2}/(2g) igual a 10).
    • Dados da bomba (da tabela): para Q=80\\ \mathrm{l/s} a altura manométrica da bomba é H_{b}=45\\ \mathrm{m} e a eficiência é \eta=75\%.
  • Observação importante: a solução exige encontrar o diâmetro D tal que a cabeça total do sistema (altura geométrica + perdas) seja igual à cabeça fornecida pela bomba H_{b}=45\\ \mathrm{m}. Em seguida, calcular a potência consumida usando a eficiência dada.

Passo 2

Definição das grandezas hidráulicas e fórmulas que vamos usar (aqui explico cada termo como se estivéssemos na prova):\n
  • Área da seção transversal do tubo: se o diâmetro é D, a área é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Explicação: área de um círculo usual, necessária para obter a velocidade a partir da vazão.\n
  • Velocidade média do fluido na tubulação:
U=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^{2}}.
Explicação: vazão volumétrica dividida pela área dá a velocidade média.\n
  • Energia cinética de referência (cabeça dinâmica):
\frac{U^{2}}{2g},
explicando: U^{2}/(2g) é a “cabeça dinâmica” associada à velocidade, onde g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
  • Perda por atrito segundo a “fórmula Universal” dada (interpretamos o coeficiente k multiplicando L/D como usual): a perda por atrito ao longo do comprimento é
h_{f} = k\frac{L}{D}\cdot\frac{U^{2}}{2g}.
Explicação: essa fórmula diz que a perda por atrito é proporcional a L/D e à cabeça dinâmica; k é o coeficiente fornecido (aqui 0,025).\n
  • Perdas localizadas (já dadas na forma multiplicativa):
h_{\ell}=10\cdot\frac{U^{2}}{2g}.
Explicação: o enunciado forneceu o valor 10\,U^{2}/(2g), ou seja, coeficiente 10 multiplicando a cabeça dinâmica.\n
  • Cabeça total do sistema que a bomba precisa vencer:
H_{\text{sys}}=H_{g}+h_{f}+h_{\ell}.
Explicação: soma da elevação fixa H_{g} e das perdas de carga (por atrito e local).\n
  • Condição de acerto entre bomba e sistema na vazão especificada:
H_{\text{sys}}=H_{b}.
Explicação: na operação desejada a bomba fornece a cabeça H_{b} para a vazão Q; portanto devemos escolher D que torne H_{\text{sys}} igual a H_{b}.\n
  • Potência hidráulica fornecida pela bomba (potência entregue ao fluido):
P_{\text{hid}}=\rho g Q H_{b},
onde \rho é a densidade da água (usaremos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}).\n
  • Potência consumida (elétrica, no eixo da bomba considerando a eficiência da bomba):
P_{\text{cons}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta}.
Explicação: dividimos a potência útil pela eficiência \eta (como fração, por ex. 0{,}75) para obter a potência que a bomba consome.

Passo 3

Escrever explicitamente as expressões com D e montar a equação a ser resolvida.\n
  • Primeiro, escrevemos U em função de D:
U=\frac{4Q}{\pi D^{2}}.
  • Cabeça dinâmica:
\frac{U^{2}}{2g}=\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^{2}}\right)^{2}=\frac{8Q^{2}}{\pi^{2} g D^{4}}.
(Desenvolvimento: (4Q)^{2}=16Q^{2} e dividido por 2 fornece 8Q^{2}.)\n
  • Perda por atrito:
h_{f}=k\frac{L}{D}\cdot\frac{8Q^{2}}{\pi^{2} g D^{4}}=\frac{8Q^{2}kL}{\pi^{2} g}\cdot\frac{1}{D^{5}}.
(Note que aparece D^{5} no denominador porque há um D adicional em L/D multiplicando o D^{4} que já vinha da cabeça dinâmica.)\n
  • Perda localizada:
h_{\ell}=10\cdot\frac{8Q^{2}}{\pi^{2} g D^{4}}=\frac{80Q^{2}}{\pi^{2} g}\cdot\frac{1}{D^{4}}.
  • Agora a condição H_{g}+h_{f}+h_{\ell}=H_{b} fica:
H_{g}+\frac{8Q^{2}kL}{\pi^{2} g}\cdot\frac{1}{D^{5}}+\frac{80Q^{2}}{\pi^{2} g}\cdot\frac{1}{D^{4}}=H_{b}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e simplificar a equação (mostro cada substituição para garantir que você faça igual na prova):\n
  • Valores a usar: Q=0,08\\ \mathrm{m^{3}/s}, k=0,025, L=3556\\ \mathrm{m}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}, H_{g}=25\\ \mathrm{m}, H_{b}=45\\ \mathrm{m}.\n
  • Calculemos constantes auxiliares passo a passo:\n
    • Primeiro 8Q^{2}: 8Q^{2}=8\cdot(0,08)^{2}=8\cdot0,0064=0,0512.\n
    • \pi^{2}g: \pi^{2}\approx9{,}8696 então \pi^{2}g\approx9{,}8696\cdot9{,}81\approx96{,}822.\n
    • Assim a constante comum C=\dfrac{8Q^{2}}{\pi^{2}g}\approx\dfrac{0,0512}{96{,}822}\approx0{,}0005288.\n
  • Agora escrevemos h_{f} e h_{\ell} usando C:\n
    • h_{f}=C\cdot kL\cdot\frac{1}{D^{5}}. Como kL=0{,}025\cdot3556=88{,}9, obtemos
    h_{f}\approx 0{,}0005288\cdot 88{,}9\cdot\frac{1}{D^{5}}\approx\frac{0{,}046999}{D^{5}}.
    • h_{\ell}=C\cdot 10\cdot\frac{1}{D^{4}}\approx 0{,}0005288\cdot10\cdot\frac{1}{D^{4}}\approx\frac{0{,}005288}{D^{4}}. \] - A equação \(H_{g}+h_{f}+h_{\ell}=H_{b} passa a ser
25+\frac{0{,}046999}{D^{5}}+\frac{0{,}005288}{D^{4}}=45.
  • Subtraindo 25 dos dois lados:
\frac{0{,}046999}{D^{5}}+\frac{0{,}005288}{D^{4}}=20.)

Passo 5

Manipular a equação para obter forma conveniente para solução numérica e explicar a estratégia de resolução (por que método numérico):\n
  • Multiplicamos ambos os lados por D^{5} para eliminar denominadores:
0{,}046999+0{,}005288\,D=20\,D^{5}.
  • Reescrevemos como função a ser igualada a zero:
f(D)=20D^{5}-0{,}005288\,D-0{,}046999=0.
  • Observação sobre método: esta é uma equação polinomial de grau 5 sem solução analítica simples; portanto usamos um método numérico (teste de valores / interpolação) — isto é aceitável na prova quando não há requisito de solução fechada. Vou fazer algumas avaliações para localizar a raiz e depois afinar por interpolação (método prático e rápido na prova).

Passo 6

Avaliação numérica e busca da raiz (vou mostrar as contas para que você repita na prova):\n
  • Teste D=0{,}20\\ \mathrm{m}:
    • 20D^{5}=20\cdot(0{,}2)^{5}=20\cdot0{,}00032=0{,}0064.
    • 0{,}005288D=0{,}005288\cdot0{,}2=0{,}0010576.
    • f(0{,}2)=0{,}0064-0{,}0010576-0{,}046999\approx-0{,}04166 (negativo).\n
  • Teste D=0{,}30\\ \mathrm{m}:
    • 20D^{5}=20\cdot(0{,}3)^{5}=20\cdot0{,}00243=0{,}0486.
    • 0{,}005288D=0{,}005288\cdot0{,}3=0{,}0015864.
    • f(0{,}3)=0{,}0486-0{,}0015864-0{,}046999\approx0{,}0000146 (próximo de zero, ligeiramente positivo).\n
  • Conclusão: a raiz está muito próxima de D=0{,}30\\ \mathrm{m}. Interpolando entre 0{,}2 e 0{,}3 (ou avaliando ponto intermediário 0{,}299) encontramos que a solução é praticamente D\approx0{,}30\\ \mathrm{m}. Para fins de projeto e padronização, escolhemos D=0{,}30\\ \mathrm{m} (300 mm), que também verifica a igualdade com boa precisão.

Passo 7

Verificação numérica detalhada com D=0{,}30\\ \mathrm{m} para mostrar que a cabeça do sistema fica igual a H_{b}:\n
  • Velocidade:
U=\frac{4Q}{\pi D^{2}}=\frac{4\cdot0{,}08}{\pi\cdot(0{,}30)^{2}}=\frac{0{,}32}{\pi\cdot0{,}09}\approx1{,}131\\ \mathrm{m/s}.
  • Cabeça dinâmica:
\frac{U^{2}}{2g}\approx\frac{(1{,}131)^{2}}{2\cdot9{,}81}\approx\frac{1{,}279}{19{,}62}\approx0{,}0652\\ \mathrm{m}.
  • Perda localizada:
h_{\ell}=10\cdot\frac{U^{2}}{2g}\approx10\cdot0{,}0652\approx0{,}652\\ \mathrm{m}.
  • Perda por atrito:
h_{f}=k\frac{L}{D}\cdot\frac{U^{2}}{2g}=0{,}025\cdot\frac{3556}{0{,}30}\cdot0{,}0652\approx296{,}333\cdot0{,}0652\approx19{,}33\\ \mathrm{m}.
  • Cabeça total do sistema:
H_{\text{sys}}=H_{g}+h_{f}+h_{\ell}\approx25+19{,}33+0{,}652\approx44{,}982\\ \mathrm{m}\approx45\\ \mathrm{m},
o que coincide (dentro de erro de arredondamento) com H_{b}=45\\ \mathrm{m}. Portanto D=0{,}30\\ \mathrm{m} é apropriado.

Passo 8

Cálculo da potência consumida pela bomba (mostrando cada passo):\n
  • Potência hidráulica entregue ao fluido:
P_{\text{hid}}=\rho g Q H_{b}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}08\cdot45.
  • Calculemos: 9{,}81\cdot0{,}08=0{,}7848. Multiplicando por 45 35{,}316. Multiplicando por 1000 resulta
P_{\text{hid}}=35316\\ \mathrm{W}\approx35{,}316\\ \mathrm{kW}.
  • Potência consumida considerando eficiência \eta=75\%=0{,}75:
P_{\text{cons}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta}=\frac{35316}{0{,}75}\\ \mathrm{W}\approx47088\\ \mathrm{W}\approx47{,}1\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Resultado prático e arredondamentos para projeto:\n
  • Diâmetro padronizado escolhido: D=0{,}30\\ \mathrm{m} (300 mm).\n
  • Potência consumida pela bomba: P_{\text{cons}}\approx47{,}1\\ \mathrm{kW}.

Resposta

D=0{,}30\\ \mathrm{m} (300 mm)\n
P_{\text{cons}}=47{,}1\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados