6.3 Uma bomba testada em laboratório apresentou as características mostradas no quadro a seguir. Esta bomba deverá ser utilizada numa estação elevatória cuja altura geométrica é 25 m , ligada a uma adutora com coeficiente de perda de carga da fórmula Universal igual a 0,025 e extensão de 3556 m . As peças, conexões e aparelhos provocam uma perda de carga localizada de
. Pede-se selecionar o diâmetro da tubulação para permitir o escoamento de
s e calcular a potência consumida.
Vazão (l/s)
0
20
40
60
80
100
120
Altura manométrica (m)
60
59
57
52
45
35
22
Eficiência (%)
-
42
58
71
75
69
54
| Vazão (l/s) | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 |
| Altura manométrica (m) | 60 | 59 | 57 | 52 | 45 | 35 | 22 |
| Eficiência (%) | - | 42 | 58 | 71 | 75 | 69 | 54 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
- Pedem selecionar o diâmetro da tubulação para permitir o escoamento de
e calcular a potência consumida pela bomba.\n - Dados fornecidos:
- Vazão:
. - Altura geométrica fixa:
. - Comprimento da adutora:
. - Coeficiente da fórmula Universal (para perda por atrito):
. - Perda de carga localizada (peças, conexões, aparelhos):
(ou seja, um coeficiente multiplicando igual a ). - Dados da bomba (da tabela): para
a altura manométrica da bomba é e a eficiência é .
- Vazão:
- Observação importante: a solução exige encontrar o diâmetro
tal que a cabeça total do sistema (altura geométrica + perdas) seja igual à cabeça fornecida pela bomba . Em seguida, calcular a potência consumida usando a eficiência dada.
Passo 2
Definição das grandezas hidráulicas e fórmulas que vamos usar (aqui explico cada termo como se estivéssemos na prova):\n
- Área da seção transversal do tubo: se o diâmetro é
, a área é
Explicação: área de um círculo usual, necessária para obter a velocidade a partir da vazão.\n
- Velocidade média do fluido na tubulação:
Explicação: vazão volumétrica dividida pela área dá a velocidade média.\n
- Energia cinética de referência (cabeça dinâmica):
explicando:
é a “cabeça dinâmica” associada à velocidade, onde
.\n
- Perda por atrito segundo a “fórmula Universal” dada (interpretamos o coeficiente
multiplicando como usual): a perda por atrito ao longo do comprimento é
Explicação: essa fórmula diz que a perda por atrito é proporcional a
e à cabeça dinâmica;
é o coeficiente fornecido (aqui
).\n
- Perdas localizadas (já dadas na forma multiplicativa):
Explicação: o enunciado forneceu o valor
, ou seja, coeficiente 10 multiplicando a cabeça dinâmica.\n
- Cabeça total do sistema que a bomba precisa vencer:
Explicação: soma da elevação fixa
e das perdas de carga (por atrito e local).\n
- Condição de acerto entre bomba e sistema na vazão especificada:
Explicação: na operação desejada a bomba fornece a cabeça
para a vazão
; portanto devemos escolher
que torne
igual a
.\n
- Potência hidráulica fornecida pela bomba (potência entregue ao fluido):
onde
é a densidade da água (usaremos
).\n
- Potência consumida (elétrica, no eixo da bomba considerando a eficiência da bomba):
Explicação: dividimos a potência útil pela eficiência
(como fração, por ex.
) para obter a potência que a bomba consome.
Passo 3
Escrever explicitamente as expressões com
e montar a equação a ser resolvida.\n
- Primeiro, escrevemos
em função de :
- Cabeça dinâmica:
(Desenvolvimento:
e dividido por
fornece
.)\n
- Perda por atrito:
(Note que aparece
no denominador porque há um
adicional em
multiplicando o
que já vinha da cabeça dinâmica.)\n
- Perda localizada:
- Agora a condição
fica:
Passo 4
Substituir os valores numéricos e simplificar a equação (mostro cada substituição para garantir que você faça igual na prova):\n
- Valores a usar:
, , , , , .\n - Calculemos constantes auxiliares passo a passo:\n
- Primeiro
: \n -
: então \n - Assim a constante comum
\n
- Primeiro
- Agora escrevemos
e usando :\n -
Como , obtemos
- passa a ser
-
- Subtraindo
dos dois lados:
Passo 5
Manipular a equação para obter forma conveniente para solução numérica e explicar a estratégia de resolução (por que método numérico):\n
- Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
- Reescrevemos como função a ser igualada a zero:
- Observação sobre método: esta é uma equação polinomial de grau 5 sem solução analítica simples; portanto usamos um método numérico (teste de valores / interpolação) — isto é aceitável na prova quando não há requisito de solução fechada. Vou fazer algumas avaliações para localizar a raiz e depois afinar por interpolação (método prático e rápido na prova).
Passo 6
Avaliação numérica e busca da raiz (vou mostrar as contas para que você repita na prova):\n
- Teste
: -
-
-
(negativo).\n
-
- Teste
: -
-
-
(próximo de zero, ligeiramente positivo).\n
-
- Conclusão: a raiz está muito próxima de
. Interpolando entre e (ou avaliando ponto intermediário ) encontramos que a solução é praticamente . Para fins de projeto e padronização, escolhemos (300 mm), que também verifica a igualdade com boa precisão.
Passo 7
Verificação numérica detalhada com
para mostrar que a cabeça do sistema fica igual a
:\n
- Velocidade:
- Cabeça dinâmica:
- Perda localizada:
- Perda por atrito:
- Cabeça total do sistema:
o que coincide (dentro de erro de arredondamento) com
. Portanto
é apropriado.
Passo 8
Cálculo da potência consumida pela bomba (mostrando cada passo):\n
- Potência hidráulica entregue ao fluido:
- Calculemos:
. Multiplicando por dá . Multiplicando por resulta
- Potência consumida considerando eficiência
:
Passo 9
Resultado prático e arredondamentos para projeto:\n
- Diâmetro padronizado escolhido:
(300 mm).\n - Potência consumida pela bomba: