6.9 Uma bomba movida por um motor de 3500 rpm deve trabalhar num sistema cuja altura máxima de sucção é 2,0 \mathrm{m}. Verificar se esta bomba cavita ao trabalhar com uma vazão de 10 \mathrm{l} / \mathrm{s}, sabendo-se que este ponto corresponde a sua melhor eficiência.
Considerar:
\begin{aligned} & \frac{P_{\text {atm }}^{\text {abs }}}{\gamma}=9,8 \mathrm{mca} & \frac{P v}{\gamma}=0,2 \mathrm{mca} \end{aligned}
  • Diâmetro da sucção: 100 mm
  • Comprimento da tubulação de sucção: 7,0 \mathrm{m}
  • Coeficiente de perda de carga da fórmula de Hazen-Williams: 130 Desprezar as perdas de carga localizadas.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a bomba cavita quando opera com vazão de 10\\ \mathrm{l/s} e altura máxima de sucção 2,0\\ \mathrm{m}. Em outras palavras: calcular a pressão (expressa em metros de coluna de água) no olho da bomba e comparar com a pressão de vapor; se a pressão no olho ficar igual ou abaixo da pressão de vapor, há cavitação.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores que o enunciado deu):
\frac{P_{\text{atm}}^{\text{abs}}}{\gamma}=9,8\\ \mathrm{mca}
\frac{P_{v}}{\gamma}=0,2\\ \mathrm{mca}
Vazão:
Q=10\\ \mathrm{l/s}=0,01\\ \mathrm{m^{3}/s}
Diâmetro da sucção:
d=100\\ \mathrm{mm}=0,10\\ \mathrm{m}
Comprimento da tubulação de sucção:
L=7,0\\ \mathrm{m}
Coeficiente de Hazen–Williams:
C=130
Altura máxima de sucção (distância vertical entre superfície livre do reservatório e o eixo/entrada da bomba):
H_s=2,0\\ \mathrm{m}
Desprezar perdas localizadas. A rotação 3500\\ \mathrm{rpm} foi dada, mas não é necessária para este cálculo direto de sucção.

Passo 2

Estratégia / fórmula que vamos usar (explicando bem o porquê): aplicamos a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório de sucção (ponto 1) e o ponto no olho da bomba (ponto 2), incluindo a perda de carga por atrito h_f. Tomando a energia por unidade de peso (metros de coluna de água) e considerando v_1\approx 0 (superfície praticamente em repouso), obtemos a pressão absoluta no olho da bomba (em mca):
\frac{P_2}{\gamma}=\frac{P_{\text{atm}}}{\gamma}-H_s-\frac{v^2}{2g}-h_f.
A seguir definimos o NPSH disponível (NPSH _a) como a diferença entre essa pressão no olho da bomba e a pressão de vapor:
\mathrm{NPSH}_a=\frac{P_2}{\gamma}-\frac{P_v}{\gamma}
Substituindo \frac{P_2}{\gamma} obtemos a expressão prática que usaremos:
\mathrm{NPSH}_a=\frac{P_{\text{atm}}}{\gamma}-\frac{P_v}{\gamma}-H_s-\frac{v^2}{2g}-h_f.
Se \mathrm{NPSH}_a\le 0 o líquido entra em tensão de vapor no olho (cavitação). Em geral precisamos comparar com NPSH _r (requerido pelo fabricante), mas como o enunciado não dá NPSH _r, a verificação básica é: a pressão no olho é maior que a pressão de vapor? (equivalente a \mathrm{NPSH}_a>0). Vamos calcular cada termo: velocidade v, perda por atrito h_f (usando Hazen–Williams) e os termos já dados.

Passo 3

Calcular a velocidade média na sucção. Área do tubo:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0,10)^2}{4}=\pi\cdot 0,0025\approx 0,00785398\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,01}{0,00785398}\approx 1,273\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: a velocidade média é apenas o volume por unidade de tempo dividido pela área da seção; é o fundamento para o termo cinético v^2/(2g) que representa a “altura” equivalente da energia cinética.

Passo 4

Calcular o termo cinético \dfrac{v^2}{2g}. Usando g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}:
\frac{v^2}{2g}=\frac{(1,273)^2}{2\cdot 9,81}=\frac{1,621}{19,62}\approx 0,0827\\ \mathrm{m}.
Explicação: este termo reduz a pressão disponível no olho porque parte da energia está em forma de velocidade do escoamento.

Passo 5

Calcular a perda por atrito h_f na tubulação de sucção usando a fórmula empírica de Hazen–Williams. A forma prática (unidades SI: Q em \mathrm{m^3/s}, d em \mathrm{m}, L em \mathrm{m}) é:
h_f = 10,67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; d^{4{,}871}}.
Aqui explico cada símbolo:
  • h_f: perda de carga por atrito (m);
  • L: comprimento da tubulação (m);
  • Q: vazão (m^3/s);
  • C: coeficiente de Hazen–Williams (adimensional);
  • d: diâmetro interno do tubo (m).
    Vamos calcular passo a passo os fatores numéricos:
Q^{1{,}852}=(0,01)^{1{,}852}\approx 0,0001981.
C^{1{,}852}=130^{1{,}852}\approx 8{,}17\times 10^{3}.
d^{4{,}871}=(0,10)^{4{,}871}\approx 1{,}345\times 10^{-5}.
Agora o numerador:
10{,}67\cdot L\cdot Q^{1{,}852}=10{,}67\cdot 7{,}0\cdot 0{,}0001981\approx 0{,}01480.
Denominador:
C^{1{,}852}\cdot d^{4{,}871}\approx 8{,}17\times 10^{3}\cdot 1{,}345\times 10^{-5}\approx 0{,}1100.
Logo
h_f=\frac{0{,}01480}{0{,}1100}\approx 0{,}1346\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda por atrito é pequena (≈ 0{,}13\\ \mathrm{m}) porque a vazão é moderada e o tubo tem diâmetro razoável; Hazen–Williams é empírico e muito usado para água em tubulações.

Passo 6

Agora podemos calcular a pressão no olho da bomba (em mca) usando a fórmula do Passo 2:
\frac{P_2}{\gamma}=\frac{P_{\text{atm}}}{\gamma}-H_s-\frac{v^2}{2g}-h_f.
Substituindo os valores:
\frac{P_2}{\gamma}=9{,}8-2{,}0-0{,}0827-0{,}1346\approx 7{,}5827\\ \mathrm{mca}.
Explicação: este é o valor absoluto da carga (em metros de água) no olho da bomba antes de subtrair a pressão de vapor.

Passo 7

Calcular o NPSH disponível (diferença entre a pressão no olho e a pressão de vapor):
\mathrm{NPSH}_a=\frac{P_2}{\gamma}-\frac{P_v}{\gamma}=7{,}5827-0{,}2\approx 7{,}3827\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o NPSH disponível é aproximadamente 7{,}38\\ \mathrm{m}. Isso significa que a pressão no olho da bomba está 7{,}38\\ \mathrm{m} acima da pressão de vapor — folga considerável.

Passo 8

Conclusão sobre cavitação: como a pressão no olho da bomba é muito maior que a pressão de vapor (ou equivalentemente \mathrm{NPSH}_a\gg 0), não ocorre cavitação sob as condições dadas. Observação: se fosse necessário comparar com o NPSH requerido pelo fabricante (NPSH _r), deveríamos garantir \mathrm{NPSH}_a>\mathrm{NPSH}_r; neste enunciado o fabricante não forneceu NPSH _r, mas a folga de cerca de 7{,}4\\ \mathrm{m} costuma ser confortável para a maioria das bombas centrífugas comerciais, então a conclusão prática é que a bomba não cavita.

Resposta

\mathrm{NPSH}_a\approx 7{,}38\\ \mathrm{m}
Não cavita (a pressão no olho é bem maior que a pressão de vapor).

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