[10.] Escreva o problema de valor inicial,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial:
Informações fornecidas:
- A equação é linear de primeira ordem no incógnito
. - A condição inicial é
.
O que se pede implicitamente: encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Apresentação do método (explicação didática): para uma equação linear de primeira ordem do tipo
usa-se o fator integrante
. A ideia é multiplicar a equação por
para que o lado esquerdo se escreva como a derivada do produto
. Isso transforma a equação em algo do tipo
que se integra facilmente.
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Aplicando a definição:
Expliquei:
porque a derivada de
é
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos:
Reconhecendo o lado esquerdo como derivada do produto:
Aqui usei a regra do produto:
e notei que
.
Passo 5
Integrar ambos os lados. Para determinar a constante usando a condição inicial de forma direta e limpa, integramos entre
e
:
Pelo teorema fundamental do cálculo, o lado esquerdo é
Como
e
, o termo com a condição inicial é zero. Logo
Passo 6
Isolar
para obter a solução explícita que satisfaz a condição inicial:
Comentário final e intuição: a solução aparece como o fator
(inverso do fator integrante) multiplicando a integral do lado direito. Essa expressão é única e bem definida para todo
, e satisfaz
por construção.