[10.] Escreva o problema de valor inicial,
u^{\prime}+(\cos t) u=\operatorname{sen} t \quad \operatorname{com} \quad u(\pi / 2)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial:
u'(t)+(\cos t)\,u(t)=\operatorname{sen} t,\qquad u\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Informações fornecidas:
  • A equação é linear de primeira ordem no incógnito u(t).
  • A condição inicial é u(\pi/2)=0.
O que se pede implicitamente: encontrar a solução u(t) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Apresentação do método (explicação didática): para uma equação linear de primeira ordem do tipo
u'(t)+p(t)\,u(t)=g(t),
usa-se o fator integrante \mu(t)=\exp\!\big(\int p(t)\,dt\big). A ideia é multiplicar a equação por \mu(t) para que o lado esquerdo se escreva como a derivada do produto \big(u(t)\mu(t)\big)'. Isso transforma a equação em algo do tipo
\big(u(t)\mu(t)\big)' = g(t)\mu(t),
que se integra facilmente.
Aqui, identificamos p(t)=\cos t e g(t)=\operatorname{sen} t.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Aplicando a definição:
\mu(t)=\exp\!\left(\int \cos t\,dt\right)=\exp\!\left(\sin t\right)=e^{\sin t}.
Expliquei: \int \cos t\,dt=\sin t porque a derivada de \sin t é \cos t.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t)=e^{\sin t}. Fazendo isso obtemos:
e^{\sin t}u'(t)+e^{\sin t}\cos t\,u(t)=\operatorname{sen} t\,e^{\sin t}.
Reconhecendo o lado esquerdo como derivada do produto:
\big(u(t)e^{\sin t}\big)'= \operatorname{sen} t\,e^{\sin t}.
Aqui usei a regra do produto: \big(u e^{\sin t}\big)'=u' e^{\sin t}+u\,(e^{\sin t})' e notei que (e^{\sin t})'= \cos t\,e^{\sin t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados. Para determinar a constante usando a condição inicial de forma direta e limpa, integramos entre \frac{\pi}{2} e t:
\int_{\pi/2}^{t} \big(u(s)e^{\sin s}\big)'\,ds = \int_{\pi/2}^{t} \operatorname{sen} s\,e^{\sin s}\,ds.
Pelo teorema fundamental do cálculo, o lado esquerdo é
u(t)e^{\sin t}-u\!\left(\frac{\pi}{2}\right)e^{\sin(\pi/2)}.
Como u(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1, o termo com a condição inicial é zero. Logo
u(t)e^{\sin t}=\int_{\pi/2}^{t} \operatorname{sen} s\,e^{\sin s}\,ds.

Passo 6

Isolar u(t) para obter a solução explícita que satisfaz a condição inicial:
u(t)=e^{-\sin t}\int_{\pi/2}^{t} \operatorname{sen} s\,e^{\sin s}\,ds.
Comentário final e intuição: a solução aparece como o fator e^{-\sin t} (inverso do fator integrante) multiplicando a integral do lado direito. Essa expressão é única e bem definida para todo t, e satisfaz u(\pi/2)=0 por construção.

Resposta

u(t)=e^{-\sin t}\displaystyle\int_{\pi/2}^{t}\operatorname{sen} s\,e^{\sin s}\,ds

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