Encontre as derivadas parciais com relação a x e com relação a y para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
z=\cos (3 x+x y)

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis e pede as derivadas parciais em relação a x e em relação a y.
Informações fornecidas:
  • A função é z=\cos(3x + x y).
O que se pede:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

O que significa derivada parcial: para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} considera-se y como constante e diferencia-se a função em relação a x. Para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} considera-se x constante e diferencia-se em relação a y.
Notação:
  • O símbolo \partial indica derivada parcial.
  • Quando a função é uma composição, por exemplo z=\cos(u(x,y)), usa-se a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{du}\big(\cos(u)\big)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}
e similarmente para \partial z/\partial y.
Lembrete rápido de derivadas básicas:
\frac{d}{du}\big(\cos u\big) = -\sin u.

Passo 3

Identificar a função interna (o argumento do cosseno). Aqui:
u(x,y)=3x+xy.
Vamos calcular as derivadas parciais de u.
  • Derivada parcial de u em relação a x, tratando y como constante:
    \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x+xy).
    A soma separa-se em duas derivadas. Para 3x a derivada é 3. Para xy temos um produto x\cdot y com y constante, então a derivada é y. Portanto
    \frac{\partial u}{\partial x}=3+y.
  • Derivada parcial de u em relação a y, tratando x como constante:
    \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x+xy).
    O termo 3x é constante em y, então deriva para 0. O termo xy visto como x\cdot y com x constante tem derivada x. Portanto
    \frac{\partial u}{\partial y}=x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para z=\cos(u(x,y)).
Para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{d}{du}\big(\cos u\big)\Big|_{u=3x+xy}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo \frac{d}{du}\big(\cos u\big)=-\sin u e \frac{\partial u}{\partial x}=3+y, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=-\sin(3x+xy)\cdot(3+y).
Para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{d}{du}\big(\cos u\big)\Big|_{u=3x+xy}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Substituindo \frac{d}{du}\big(\cos u\big)=-\sin u e \frac{\partial u}{\partial y}=x, obtemos
\frac{\partial z}{\partial y}=-\sin(3x+xy)\cdot x.

Passo 5

Interpretação final breve (para a prova): fixe a variável que NÃO está sendo diferenciada, calcule a derivada do argumento usando soma e produto (lembrando que a derivada de x em relação a x é 1 e de y em relação a x é 0 quando y é tratado como constante), e multiplique pelo derivado do cosseno que é -\sin do argumento. Repita trocando as variáveis para a outra parcial. Dá para fazer isso rápido na prova seguindo exatamente estes passos.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(3x+xy)\,(3+y)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(3x+xy)\,x

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