O que significa derivada parcial: para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} considera-se y como constante e diferencia-se a função em relação a x. Para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} considera-se x constante e diferencia-se em relação a y.
Notação:
O símbolo \partial indica derivada parcial.
Quando a função é uma composição, por exemplo z=\cos(u(x,y)), usa-se a regra da cadeia:
Interpretação final breve (para a prova): fixe a variável que NÃO está sendo diferenciada, calcule a derivada do argumento usando soma e produto (lembrando que a derivada de x em relação a x é 1 e de y em relação a x é 0 quando y é tratado como constante), e multiplique pelo derivado do cosseno que é -\sin do argumento. Repita trocando as variáveis para a outra parcial. Dá para fazer isso rápido na prova seguindo exatamente estes passos.