Encontre as derivadas parciais com relação a
e com relação a
para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- A derivada parcial de
em relação a , isto é . - A derivada parcial de
em relação a , isto é .
As informações relevantes são apenas a expressão da função
e que as derivadas pedidas são parciais (cada derivada mantém a outra variável fixa).
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a mede a variação de quando varia e fica fixo. Formalmente,
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
mantém fixo:
Na prática, usamos regras de derivação (produto, cadeia) aplicando-as mantendo a outra variável como constante.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
, então
Isso é igual ao que se usa em uma variável, só que as derivadas são parciais.
- Regra da cadeia (para exponencial): se
, então
Aqui
, então
e
.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Identifique as funções do produto:
Derivadas parciais necessárias:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Simplificar a expressão encontrada para
. Fatorando
:
Passo 6
Calcular
passo a passo.
Usamos novamente
e
. Agora
porque
é tratado como constante ao derivar em relação a
. E
Aplicando a regra do produto: