Encontre as derivadas parciais com relação a x e com relação a y para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
w=x e^{x y}

Passo 1

O enunciado dá a função w(x,y)=x e^{x y} e pede duas coisas:
  • A derivada parcial de w em relação a x, isto é \dfrac{\partial w}{\partial x}.
  • A derivada parcial de w em relação a y, isto é \dfrac{\partial w}{\partial y}.
As informações relevantes são apenas a expressão da função w(x,y) e que as derivadas pedidas são parciais (cada derivada mantém a outra variável fixa).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
  • A derivada parcial de w em relação a x mede a variação de w quando x varia e y fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial w}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{w(x+h,y)-w(x,y)}{h}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y mantém x fixo:
\frac{\partial w}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{w(x,y+h)-w(x,y)}{h}.
Na prática, usamos regras de derivação (produto, cadeia) aplicando-as mantendo a outra variável como constante.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto: se w(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), então
\frac{\partial w}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Isso é igual ao que se usa em uma variável, só que as derivadas são parciais.
  • Regra da cadeia (para exponencial): se v(x,y)=e^{g(x,y)}, então
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial x}.
Aqui g(x,y)=x y, então \dfrac{\partial g}{\partial x}=y e \dfrac{\partial g}{\partial y}=x.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial w}{\partial x} passo a passo.
Identifique as funções do produto:
u(x,y)=x,\qquad v(x,y)=e^{x y}.
Derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}=e^{x y}\cdot\frac{\partial (x y)}{\partial x}=e^{x y}\cdot y.
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x} = 1\cdot e^{x y} + x\cdot\big(e^{x y}\,y\big).

Passo 5

Simplificar a expressão encontrada para \dfrac{\partial w}{\partial x}. Fatorando e^{x y}:
\frac{\partial w}{\partial x}=e^{x y} + x y e^{x y}=e^{x y}\big(1 + x y\big).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial w}{\partial y} passo a passo.
Usamos novamente u(x,y)=x e v(x,y)=e^{x y}. Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}=0 porque x é tratado como constante ao derivar em relação a y. E
\frac{\partial v}{\partial y}=e^{x y}\cdot\frac{\partial (x y)}{\partial y}=e^{x y}\cdot x.
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y} = 0\cdot e^{x y} + x\cdot\big(e^{x y}\,x\big) = x^{2} e^{x y}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=e^{x y}\big(1+x y\big)
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=x^{2}e^{x y}

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