10- a- Qual a família de direções e família de planos cristalográficos de maior empacotamento atômico para a estrutura ccc?
, respectivamente
b- Qual a Qual a família de direções e família de planos cristalográficos de maior empacotamento atômico para a estrutura cfc?
e
, respectivamente
b- Qual a Qual a família de direções e família de planos cristalográficos de maior empacotamento atômico para a estrutura cfc?
Passo 1
O enunciado pede, para duas estruturas cristalinas cúbicas (denotadas aqui por “ccc” = cúbica de corpo centrado, i.e. bcc, e “cfc” = cúbica de face centrada, i.e. fcc), as duas coisas a seguir:
- A família de direções de maior empacotamento atômico (ou seja, as direções que ligam átomos vizinhos mais próximos).
- A família de planos cristalográficos de maior empacotamento atômico (ou seja, os planos com maior densidade planar de átomos).
Informações implícitas que vamos usar (padrões cristalográficos padrão):
- Célula cúbica de aresta
. - Posições atômicas na célula convencional:
- Para bcc: átomos em
(cantos) e em (centro do corpo). - Para fcc: átomos em
(cantos) e em (centros das faces).
- Para bcc: átomos em
- Método que vamos usar (não detalhado aqui, só enumero): para direções, achar o vetor de menor comprimento que liga átomos vizinhos (isto define as direções mais densas). Para planos, identificar o plano que contém mais átomos por área (ou que contém as linhas/arranjos mais próximos).
Passo 2
Entendendo concretamente os sítios atômicos (isso é importante para achar vizinhos mais próximos).
- Na bcc temos um átomo no canto
e um no corpo . Em coordenadas reais (multiplicando por ), o vetor do átomo do centro do corpo até o átomo de um canto é
Esse vetor conecta dois átomos vizinhos imediatos.
- Na fcc temos, por exemplo, um átomo no canto
e um átomo no centro da face . O vetor entre esses dois é
Esse vetor conecta vizinhos imediatos na fcc.
Passo 3
Como identificar a direção de maior empacotamento: comparar comprimentos dos vetores que ligam átomos vizinhos possíveis (o menor comprimento corresponde à vizinhança mais próxima).
- Para bcc:
- Comprimento de
é
- Outros vetores simples na célula são
com comprimento e com comprimento . Comparando,
logo o menor comprimento é o de . - Portanto a direção mais compacta é a direção do vetor
(e suas permutações e sinais). Escrevemos isso como a família de direções .
- Comprimento de
- Para fcc:
- Comprimento de
é
- Compare com
de comprimento e de comprimento . Claramente
então o vetor é o mais curto. - Logo a família de direções de maior empacotamento é
.
- Comprimento de
Pequeno comentário intuitivo: direções de maior empacotamento são as que ligam átomos imediatamente vizinhos; identificar os vetores entre sítios ocupados na célula convencional e escolher o de menor módulo é a forma direta de achar essas direções.
Passo 4
O que significa a notação usada:
-
indica a família de direções equivalentes por simetria cristalina — por exemplo engloba [111], [1̄11], [11̄1], [111̄], etc. -
indica a família de planos equivalentes por simetria — por exemplo engloba (110), (1̄10), (101), etc.
Passo 5
Como identificar o plano de maior empacotamento: procurar o plano que contém a maior densidade de átomos por área. Uma maneira prática é:
- Ver qual plano contém linhas/filas de átomos separados pela menor distância (as direções de maior empacotamento) organizadas em arranjos mais compactos (por exemplo, arranjo triangular/hexagonal em 2D é o mais denso).
Aplicando isso: - Na fcc, os planos
cortam a rede formando camadas onde os centros projetados dos átomos formam um arranjo hexagonal compacto (cada átomo tem 6 vizinhos imediatos no plano formando triângulos regulares). Esse é o arranjo 2D de mais alta densidade (empacotamento hexagonal). Portanto, para fcc os planos mais compactos são . - Na bcc, o arranjo 2D estritamente hexagonal não ocorre tão naturalmente como na fcc; contudo o plano
contém a maior densidade planar de átomos em bcc: ele contém linhas de átomos com o espaçamento igual ao menor espaçamento entre vizinhos (as direções aparecem como linhas projetadas), resultando na maior densidade de átomos por área entre os planos possíveis da bcc. Assim, para bcc o conjunto de planos mais compactos é .
Passo 6
Um pouco mais de intuição geométrica (para fixar a ideia; ajuda na prova):
- Para fcc: imagine cortar o cubo pela diagonal de uma face e depois por uma diagonal que passe por cima — o plano (111) atravessa três faces e corta os centros de átomos de faces e cantos de modo que, visto no plano, os centros atômicos ficam dispostos como uma rede triangular (hexagonal). Redes triangulares são as 2D mais densas, então
é o natural candidato — e é o correto. - Para bcc: o átomo no centro do cubo desloca o padrão de vizinhança; as direções
são as que ligam o átomo central aos cantos. Quando se projeta a estrutura sobre o plano (110) aparecem linhas de átomos com o menor espaçamento possível e, por isso, (110) é o plano que traz maior número de átomos por área.
Passo 7
Resumo didático e dica prática para prova (receita curta que funciona sempre):
- Para direções: escreva as posições atômicas, calcule vetores que ligam um átomo a possíveis vizinhos e escolha o vetor de menor comprimento; a família gerada por esse vetor é a resposta.
- Para planos: pense qual plano contém o maior número de vizinhos próximos por área; no cristal cúbico:
- bcc (ccc) → direções de maior empacotamento
; planos de maior empacotamento . - fcc (cfc) → direções de maior empacotamento
; planos de maior empacotamento .
Se tiver pouco tempo na prova: lembrar essas quatro respostas é suficiente.
- bcc (ccc) → direções de maior empacotamento
Resposta
Para ccc (bcc):
e
Para cfc (fcc): e
Para cfc (fcc):