10- a- Qual a família de direções e família de planos cristalográficos de maior empacotamento atômico para a estrutura ccc?
\mathbf{R}=<111>\mathbf{e}\{110\}, respectivamente
b- Qual a Qual a família de direções e família de planos cristalográficos de maior empacotamento atômico para a estrutura cfc?
\mathbf{R}=<110> e \{111\}, respectivamente

Passo 1

O enunciado pede, para duas estruturas cristalinas cúbicas (denotadas aqui por “ccc” = cúbica de corpo centrado, i.e. bcc, e “cfc” = cúbica de face centrada, i.e. fcc), as duas coisas a seguir:
  • A família de direções de maior empacotamento atômico (ou seja, as direções que ligam átomos vizinhos mais próximos).
  • A família de planos cristalográficos de maior empacotamento atômico (ou seja, os planos com maior densidade planar de átomos).
Informações implícitas que vamos usar (padrões cristalográficos padrão):
  • Célula cúbica de aresta a.
  • Posições atômicas na célula convencional:
    • Para bcc: átomos em (0,0,0) (cantos) e em \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) (centro do corpo).
    • Para fcc: átomos em (0,0,0) (cantos) e em \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right),\left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right),(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) (centros das faces).
  • Método que vamos usar (não detalhado aqui, só enumero): para direções, achar o vetor de menor comprimento que liga átomos vizinhos (isto define as direções mais densas). Para planos, identificar o plano que contém mais átomos por área (ou que contém as linhas/arranjos mais próximos).

Passo 2

Entendendo concretamente os sítios atômicos (isso é importante para achar vizinhos mais próximos).
  • Na bcc temos um átomo no canto (0,0,0) e um no corpo \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right). Em coordenadas reais (multiplicando por a), o vetor do átomo do centro do corpo até o átomo de um canto é
\vec{r}_{\text{bcc}}=\frac{a}{2}(1,1,1).
Esse vetor conecta dois átomos vizinhos imediatos.
  • Na fcc temos, por exemplo, um átomo no canto (0,0,0) e um átomo no centro da face \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right). O vetor entre esses dois é
\vec{r}_{\text{fcc}}=\frac{a}{2}(1,1,0).
Esse vetor conecta vizinhos imediatos na fcc.

Passo 3

Como identificar a direção de maior empacotamento: comparar comprimentos dos vetores que ligam átomos vizinhos possíveis (o menor comprimento corresponde à vizinhança mais próxima).
  • Para bcc:
    • Comprimento de \vec{r}_{\text{bcc}}=\dfrac{a}{2}(1,1,1) é
    |\vec{r}_{\text{bcc}}|=\frac{a}{2}\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
    • Outros vetores simples na célula são [100] com comprimento a e [110] com comprimento a\sqrt{2}. Comparando,
    \frac{a\sqrt{3}}{2}<a< a\sqrt{2},logo o menor comprimento é o de \dfrac{a}{2}(1,1,1).
    • Portanto a direção mais compacta é a direção do vetor [111] (e suas permutações e sinais). Escrevemos isso como a família de direções \langle 111\rangle.
  • Para fcc:
    • Comprimento de \vec{r}_{\text{fcc}}=\dfrac{a}{2}(1,1,0) é
    |\vec{r}_{\text{fcc}}|=\frac{a}{2}\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
    • Compare com [100] de comprimento a e [111] de comprimento a\sqrt{3}. Claramente
    \frac{a\sqrt{2}}{2}<a< a\sqrt{3},então o vetor \dfrac{a}{2}(1,1,0) é o mais curto.
    • Logo a família de direções de maior empacotamento é \langle 110\rangle.
Pequeno comentário intuitivo: direções de maior empacotamento são as que ligam átomos imediatamente vizinhos; identificar os vetores entre sítios ocupados na célula convencional e escolher o de menor módulo é a forma direta de achar essas direções.

Passo 4

O que significa a notação usada:
  • \langle h k \ell\rangle indica a família de direções equivalentes por simetria cristalina — por exemplo \langle 111\rangle engloba [111], [1̄11], [11̄1], [111̄], etc.
  • \{h k \ell\} indica a família de planos equivalentes por simetria — por exemplo \{110\} engloba (110), (1̄10), (101), etc.

Passo 5

Como identificar o plano de maior empacotamento: procurar o plano que contém a maior densidade de átomos por área. Uma maneira prática é:
  • Ver qual plano contém linhas/filas de átomos separados pela menor distância (as direções de maior empacotamento) organizadas em arranjos mais compactos (por exemplo, arranjo triangular/hexagonal em 2D é o mais denso).
    Aplicando isso:
  • Na fcc, os planos (111) cortam a rede formando camadas onde os centros projetados dos átomos formam um arranjo hexagonal compacto (cada átomo tem 6 vizinhos imediatos no plano formando triângulos regulares). Esse é o arranjo 2D de mais alta densidade (empacotamento hexagonal). Portanto, para fcc os planos mais compactos são \{111\}.
  • Na bcc, o arranjo 2D estritamente hexagonal não ocorre tão naturalmente como na fcc; contudo o plano (110) contém a maior densidade planar de átomos em bcc: ele contém linhas de átomos com o espaçamento igual ao menor espaçamento entre vizinhos (as direções \langle 111\rangle aparecem como linhas projetadas), resultando na maior densidade de átomos por área entre os planos possíveis da bcc. Assim, para bcc o conjunto de planos mais compactos é \{110\}.

Passo 6

Um pouco mais de intuição geométrica (para fixar a ideia; ajuda na prova):
  • Para fcc: imagine cortar o cubo pela diagonal de uma face e depois por uma diagonal que passe por cima — o plano (111) atravessa três faces e corta os centros de átomos de faces e cantos de modo que, visto no plano, os centros atômicos ficam dispostos como uma rede triangular (hexagonal). Redes triangulares são as 2D mais densas, então \{111\} é o natural candidato — e é o correto.
  • Para bcc: o átomo no centro do cubo desloca o padrão de vizinhança; as direções \langle 111\rangle são as que ligam o átomo central aos cantos. Quando se projeta a estrutura sobre o plano (110) aparecem linhas de átomos com o menor espaçamento possível e, por isso, (110) é o plano que traz maior número de átomos por área.

Passo 7

Resumo didático e dica prática para prova (receita curta que funciona sempre):
  • Para direções: escreva as posições atômicas, calcule vetores que ligam um átomo a possíveis vizinhos e escolha o vetor de menor comprimento; a família gerada por esse vetor é a resposta.
  • Para planos: pense qual plano contém o maior número de vizinhos próximos por área; no cristal cúbico:
    • bcc (ccc) → direções de maior empacotamento \langle 111\rangle; planos de maior empacotamento \{110\}.
    • fcc (cfc) → direções de maior empacotamento \langle 110\rangle; planos de maior empacotamento \{111\}.
      Se tiver pouco tempo na prova: lembrar essas quatro respostas é suficiente.

Resposta

Para ccc (bcc): \mathbf{R}=\langle 111\rangle e \mathbf{e}=\{110\}
Para cfc (fcc): \mathbf{R}=\langle 110\rangle e \mathbf{e}=\{111\}

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