No sistema cúbico, qual das seguintes direções corta a diagonal do cubo: <110>, <111> ou <100> ?
\mathbf{R}=\langle 111\rangle

Passo 1

O enunciado pergunta: entre as direções \langle 110\rangle, \langle 111\rangle e \langle 100\rangle, qual corta a diagonal do cubo. As informações fornecidas são:
  • As direções candidatas são \langle 110\rangle, \langle 111\rangle e \langle 100\rangle.
  • Foi sugerida a resposta \mathbf{R}=\langle 111\rangle.

Passo 2

Entender o que significa uma direção do tipo \langle hkl\rangle num sistema cúbico. Vou explicar devagar:
  • Em um sistema cúbico, escolhe-se eixos ortogonais x,y,z coincidentes com arestas do cubo e a distância entre nós da rede (o parâmetro de rede) é uma unidade conveniente; assim uma direção \langle h k l\rangle corresponde ao vetor com componentes proporcionais a h, k e l.
  • Ou seja, a direção \langle h k l\rangle é paralela ao vetor (h,k,l) quando medido nas unidades do parâmetro de rede. Exemplos concretos:
    • \langle 100\rangle corresponde a (1,0,0): é uma aresta do cubo (direção ao longo do eixo x).
    • \langle 110\rangle corresponde a (1,1,0): é a diagonal de uma face do cubo (fica no plano z=0, por exemplo).
    • \langle 111\rangle corresponde a (1,1,1): é a diagonal espacial (diagonal do corpo) que une vértices opostos do cubo.

Passo 3

Construção geométrica simples para visualizar o que é “diagonal do cubo”:
  • Considere um cubo com um vértice na origem O=(0,0,0) e arestas de comprimento 1 ao longo dos eixos, então os vértices adjacentes são A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1) e o vértice oposto ao O é D=(1,1,1).
  • A reta que une O a D é a diagonal do cubo (diagonal do corpo) e tem vetor posição (1,1,1).

Passo 4

Comparação direta das três direções com a diagonal do corpo:
  • \langle 100\rangle corresponde a (1,0,0). Esse vetor leva de O a A=(1,0,0): é uma aresta, não vai até o vértice oposto D. Logo não é a diagonal do cubo.
  • \langle 110\rangle corresponde a (1,1,0). Esse vetor leva de O a (1,1,0): isso fica no centro da face z=0, ou seja, é a diagonal de uma face, não a diagonal do corpo.
  • \langle 111\rangle corresponde a (1,1,1). Esse vetor leva de O a D=(1,1,1): justamente o vértice oposto, ou seja, é a diagonal do cubo.

Passo 5

Observação sobre a notação de família \langle 111\rangle:
  • Em um cristal cúbico, a família \langle 111\rangle agrupa todos os vetores proporcionais a (\pm1,\pm1,\pm1). São as oito diagonais do corpo do cubo (cada par de vértices opostos define uma dessas diagonais).
  • Portanto indicar \langle 111\rangle significa qualquer uma das diagonais do corpo — é a resposta correta e mais geral.

Resposta

\langle 111\rangle

Exercícios relacionados