No sistema cúbico, qual das seguintes direções corta a diagonal do cubo: <110>, <111> ou <100> ?
Passo 1
O enunciado pergunta: entre as direções
,
e
, qual corta a diagonal do cubo. As informações fornecidas são:
- As direções candidatas são
, e . - Foi sugerida a resposta
.
Passo 2
Entender o que significa uma direção do tipo
num sistema cúbico. Vou explicar devagar:
- Em um sistema cúbico, escolhe-se eixos ortogonais
coincidentes com arestas do cubo e a distância entre nós da rede (o parâmetro de rede) é uma unidade conveniente; assim uma direção corresponde ao vetor com componentes proporcionais a , e . - Ou seja, a direção
é paralela ao vetor quando medido nas unidades do parâmetro de rede. Exemplos concretos: -
corresponde a : é uma aresta do cubo (direção ao longo do eixo ). -
corresponde a : é a diagonal de uma face do cubo (fica no plano , por exemplo). -
corresponde a : é a diagonal espacial (diagonal do corpo) que une vértices opostos do cubo.
-
Passo 3
Construção geométrica simples para visualizar o que é “diagonal do cubo”:
- Considere um cubo com um vértice na origem
e arestas de comprimento ao longo dos eixos, então os vértices adjacentes são , , e o vértice oposto ao é . - A reta que une
a é a diagonal do cubo (diagonal do corpo) e tem vetor posição .
Passo 4
Comparação direta das três direções com a diagonal do corpo:
-
corresponde a . Esse vetor leva de a : é uma aresta, não vai até o vértice oposto . Logo não é a diagonal do cubo. -
corresponde a . Esse vetor leva de a : isso fica no centro da face , ou seja, é a diagonal de uma face, não a diagonal do corpo. -
corresponde a . Esse vetor leva de a : justamente o vértice oposto, ou seja, é a diagonal do cubo.
Passo 5
Observação sobre a notação de família
:
- Em um cristal cúbico, a família
agrupa todos os vetores proporcionais a . São as oito diagonais do corpo do cubo (cada par de vértices opostos define uma dessas diagonais). - Portanto indicar
significa qualquer uma das diagonais do corpo — é a resposta correta e mais geral.