1.10 i Expressando diagonais como vetores e utilizando a definição de produto escalar, encontre o menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo, no qual cada diagonal conecta vários vértices diametralmente opostos e passa pelo centro do cubo.

Passo 1

O enunciado pede o menor ângulo entre duas diagonais de um cubo, usando vetores e produto escalar. O conteúdo é geometria no espaço: vamos representar cada diagonal como vetor que sai do centro do cubo e aplicar a definição de produto escalar para obter o cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com o cubo centrado na origem e aresta de comprimento 2, de modo que os vértices sejam (\pm1,\pm1,\pm1). Cada diagonal do cubo corresponde a um vetor que vai de (-1,-1,-1) a (1,1,1) (ou a qualquer combinação de sinais), por exemplo:
v_1 = (1,1,1),\quad v_2 = (1,-1,1).

Passo 3

Para achar o ângulo entre v_1 e v_2, usamos a definição de produto escalar:
v_1 \cdot v_2 = 1\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot1 = 1.
O comprimento de cada vetor é
\|v_1\| = \|v_2\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.

Passo 4

O cosseno do ângulo \theta entre v_1 e v_2 é
\cos\theta = \frac{v_1 \cdot v_2}{\|v_1\|\;\|v_2\|} = \frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{3}} = \frac{1}{3}.
Como \operatorname{arccos} é decrescente, este caso dá o menor ângulo positivo entre quaisquer duas diagonais.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)\approx 70,53^\circ.

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