1.10 i Expressando diagonais como vetores e utilizando a definição de produto escalar, encontre o menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo, no qual cada diagonal conecta vários vértices diametralmente opostos e passa pelo centro do cubo.
Passo 1
O enunciado pede o menor ângulo entre duas diagonais de um cubo, usando vetores e produto escalar. O conteúdo é geometria no espaço: vamos representar cada diagonal como vetor que sai do centro do cubo e aplicar a definição de produto escalar para obter o cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com o cubo centrado na origem e aresta de comprimento
, de modo que os vértices sejam
. Cada diagonal do cubo corresponde a um vetor que vai de
a
(ou a qualquer combinação de sinais), por exemplo:
Passo 3
Para achar o ângulo entre
e
, usamos a definição de produto escalar:
O comprimento de cada vetor é
Passo 4
O cosseno do ângulo
entre
e
é
Como
é decrescente, este caso dá o menor ângulo positivo entre quaisquer duas diagonais.