3-10 ind the mass and center of mass of the lamina that occupies the region D and has the given density function rho.
D is bounded by the parabolas y=x^2 and x=y^2;
rho(x, y)=raizx

Passo 1

O exercício pede para achar a massa e o centro de massa de uma lâmina com densidade rho(x,y)=raizx ocupando a região D limitada pelas parábolas y=x^2 e x=y^2. Vamos usar duplas integrais para massa e momentos, e depois dividir pelos massa para obter as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro determinamos a região D. As curvas se interceptam em (0,0) e (1,1) pois de y=x^2 e x=y^2 segue y=(y^2)^2=y^4, dando y=0 ou y=1. No primeiro quadrante, para cada xin[0,1], o y varia de y=x^2 até y=raizx.

Passo 3

Para a massa M usamos
M=integral duplaDrho(x,y),dA =integralx=0^1integraly=x^2^raizxraizx,dy,dx
Fazendo a integral em y primeiro:
M=integral0^1raizxl(raizx-x^2r)dx =integral0^1l(x - x^5/2r)dx =l[tfracx^22-tfracx^7/27/2r]0^1 =tfrac12-tfrac27=tfrac314

Passo 4

Para o momento My (em relação ao eixo y):
My=integral duplaD x,rho(x,y),dA =integral0^1integralx^2^raizxxraizx,dy,dx =integral0^1 x^3/2l(raizx-x^2r)dx =integral0^1l(x^2 - x^7/2r)dx =l[tfracx^33-tfracx^9/29/2r]0^1 =tfrac13-tfrac29=tfrac19

Passo 5

Para o momento Mx (em relação ao eixo x):
Mx=integral duplaD y,rho(x,y),dA =integral0^1integralx^2^raizxyraizx,dy,dx =integral0^1raizxcdottfrac12l(x - x^4r)dx =tfrac12integral0^1l(x^3/2 - x^9/2r)dx =tfrac12l[tfrac25-tfrac211r] =tfrac655

Passo 6

As coordenadas do centro de massa são dadas por
bar x=MyM=tfrac19tfrac314=1427, bar y=MxM=tfrac655tfrac314=2855

Resposta

Massa M=tfrac314. Centro de massa em \bigl(\tfrac{14}{27},\tfrac{28}{55}\bigr).

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