3-10 ind the mass and center of mass of the lamina that occupies the region
and has the given density function
.
is bounded by the parabolas
and
;
Passo 1
O exercício pede para achar a massa e o centro de massa de uma lâmina com densidade
ocupando a região
limitada pelas parábolas
e
. Vamos usar duplas integrais para massa e momentos, e depois dividir pelos massa para obter as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro determinamos a região
. As curvas se interceptam em
e
pois de
e
segue
, dando
ou
. No primeiro quadrante, para cada
, o
varia de
até
.
Passo 3
Para a massa
usamos
Fazendo a integral em
primeiro:
Passo 4
Para o momento
(em relação ao eixo
):
Passo 5
Para o momento
(em relação ao eixo
):
Passo 6
As coordenadas do centro de massa são dadas por
Resposta
Massa
. Centro de massa em \bigl(\tfrac{14}{27},\tfrac{28}{55}\bigr).