EXAMPLE 8
A factory produces (cylindrically shaped) roller bearings that are sold as having diameter 4.0 cm and length 6.0 cm . In fact, the diameters
are normally distributed with mean 4.0 cm and standard deviation 0.01 cm while the lengths
are normally distributed with mean 6.0 cm and standard deviation 0.01 cm . Assuming that
and
are independent, write the joint density function and graph it. Find the probability that a bearing randomly chosen from the production line has either length or diameter that differs from the mean by more than 0.02 cm .
A factory produces (cylindrically shaped) roller bearings that are sold as having diameter 4.0 cm and length 6.0 cm . In fact, the diameters
Passo 1
O exercício trata das variáveis aleatórias independentes X (diâmetro) e Y (comprimento), ambas normalmente distribuídas com médias μ_X=4,0 cm, μ_Y=6,0 cm e desvios padrão σ_X=σ_Y=0,01 cm. Vamos precisar escrever a densidade conjunta, esboçar seu gráfico e calcular P(|X−4,0|>0,02 ou |Y−6,0|>0,02).
Passo 2
A densidade marginal de X é dada pela normal padrão deslocada e redimensionada:
Passo 3
De modo análogo, a densidade marginal de Y é
Passo 4
Como X e Y são independentes, a densidade conjunta é o produto das marginais:
Passo 5
O gráfico de
é uma “campaninha” 3D centrada no ponto (4,0;6,0), decaindo radialmente conforme nos afastamos desse pico.
Passo 6
Definimos o evento de interesse A = { |X−4,0|>0,02 ou |Y−6,0|>0,02 }. Para calcular P(A) usamos
Passo 7
Pela independência,
$$P(|X-4,0|\le0,02 ;e;|Y-6,0|\le0,02)=P(|X-4,0|\le0,02)\cdot P(|Y-6,0|\le0,02).
$$
Passo 8
Calculamos
$$P(|X-4,0|\le0,02)=P\Bigl(|Z|\le\frac{0,02}{0,01}\Bigr)=P(|Z|\le2)=2\Phi(2)-1\approx2\times0,97725-1=0,9545,
$$ onde Z∼N(0,1).
Passo 9
Assim,
Resposta
A densidade conjunta é
e a probabilidade pedida é aproximadamente 0,0889.