3-10 ind the mass and center of mass of the lamina that occupies the region
and has the given density function
.
is the triangular region enclosed by the lines
, and
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa e o centro de massa de uma lâmina com densidade
que ocupa o triângulo
ligado pelas retas
,
e
. O conteúdo aqui é integrar em coordenadas cartesianas usando fórmulas de massa e centro de massa.
Passo 2
Primeiro precisamos descrever bem o domínio
. As interseções das retas dão os vértices
,
e
. Assim podemos tomar
Passo 3
A massa
é dada por
Dentro dessa integral, como
não depende de
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos:
Logo,
$$
m = 4.
$$
Passo 5
Para o centro de massa usamos as fórmulas
Passo 6
Começando por
:
Passo 7
Calculando
Assim,
Passo 8
Agora
:
Fazendo a integral em
:
Passo 9
Logo,
Passo 10
Portanto encontramos a massa e o centro de massa da lâmina.