3-10 ind the mass and center of mass of the lamina that occupies the region D and has the given density function rho.
D is the triangular region enclosed by the lines x=0, y=x, and 2 x+y=6 ; rho(x, y)=x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa e o centro de massa de uma lâmina com densidade rho(x,y)=x^2 que ocupa o triângulo D ligado pelas retas x=0, y=x e 2x+y=6. O conteúdo aqui é integrar em coordenadas cartesianas usando fórmulas de massa e centro de massa.

Passo 2

Primeiro precisamos descrever bem o domínio D. As interseções das retas dão os vértices (0,0), (2,2) e (0,6). Assim podemos tomar
0 <= x <= 2, x <= y <= 6 - 2x

Passo 3

A massa m é dada por
m = integral duplaD rho(x,y),dA = integralx=0^2 integraly=x^6-2x x^2 ,dy,dx
Dentro dessa integral, como x^2 não depende de y, obtemos
m = integral0^2 x^2l[(6-2x)-xr] ,dx = integral0^2 x^2(6-3x),dx = integral0^2 (6x^2 -3x^3),dx

Passo 4

Agora calculamos:
integral0^2 (6x^2 -3x^3),dx = l[2x^3 -tfrac34x^4r]0^2 = (16 -12) = 4
Logo,
$$
m = 4.
$$

Passo 5

Para o centro de massa usamos as fórmulas
bar x = 1mintegral duplaD x,rho(x,y),dA, bar y = 1mintegral duplaD y,rho(x,y),dA

Passo 6

Começando por bar x:
bar x = 14 integral0^2 integralx^6-2x x^3 ,dy,dx = 14 integral0^2 x^3(6-3x),dx = 14 integral0^2 (6x^3 -3x^4),dx

Passo 7

Calculando
integral0^2 (6x^3 -3x^4),dx = l[tfrac64x^4 - tfrac35x^5r]0^2 = (24 - tfrac965) = tfrac245
Assim,
bar x = 14 cdot 245 = 65

Passo 8

Agora bar y:
bar y = 14 integral0^2 integralx^6-2x x^2 y ,dy,dx
Fazendo a integral em y:
integralx^6-2x x^2 y ,dy = x^2 l[tfracy^22r]x^6-2x = x^2cdottfrac(6-2x)^2 - x^22 = 18x^2 -12x^3 +1.5x^4

Passo 9

Logo,
bar y = 14 integral0^2 (18x^2 -12x^3 +1.5x^4),dx = 14 l[6x^3 -3x^4 +0.3x^5r]0^2 = 9.64 = 2.4 = 125

Passo 10

Portanto encontramos a massa e o centro de massa da lâmina.

Resposta

m = 4, (bar x,bar y) = l(tfrac65,tfrac125r)

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