3-(10) Como a intensidade de radiação emitida por uma superficie é obtida?

Passo 1

O enunciado pergunta como se obtém a intensidade de radiação emitida por uma superfície. Esse tema faz parte da radiação térmica e transferência de calor; para resolver vamos precisar da definição de radiância (ou intensidade espectral) de um corpo negro (Lei de Planck), da lei de Lambert (fator cos \theta) e da integração sobre todos os comprimentos de onda.

Passo 2

A radiância espectral de um corpo negro à temperatura T (potência emitida por unidade de área projetada, por unidade de comprimento de onda e por unidade de ângulo sólido) é dada pela Lei de Planck:
L_{\lambda}(T) = \frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}} \frac{1}{\exp\!\bigl(\tfrac{hc}{\lambda k\,T}\bigr)-1}
onde h é a constante de Planck, c a velocidade da luz, k a constante de Boltzmann e \lambda o comprimento de onda.

Passo 3

Para uma superfície lambertiana (emissor difuso), a intensidade espectral na direção que faz ângulo \theta com a normal é
I_{\lambda}(T,\theta) = L_{\lambda}(T)\,\cos\theta.

Passo 4

A intensidade total emitida na direção \theta (integrada em todos os comprimentos de onda) é
I(T,\theta) = \int_{0}^{\infty}I_{\lambda}(T,\theta)\,d\lambda = \int_{0}^{\infty}L_{\lambda}(T)\,\cos\theta\,d\lambda.

Passo 5

Sabe-se que a integral da radiância espectral de corpo negro sobre \lambda satisfaz
\int_{0}^{\infty}L_{\lambda}(T)\,d\lambda = \frac{\sigma\,T^{4}}{\pi},
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Logo
I(T,\theta) = \frac{\sigma\,T^{4}}{\pi}\,\cos\theta.

Passo 6

Para uma superfície real com emisividade \varepsilon, basta multiplicar por esse fator:
I(T,\theta) = \varepsilon\, \frac{\sigma\,T^{4}}{\pi}\,\cos\theta.

Resposta

A intensidade de radiação emitida por uma superfície lambertiana é obtida integrando-se a radiância espectral de corpo negro (Lei de Planck) sobre todos os comprimentos de onda e aplicando o fator de projeção \cos\theta. O resultado é
I(T,\theta) = \varepsilon\, \frac{\sigma\,T^{4}}{\pi}\,\cos\theta.

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