1. 10 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} de uma mistura equimolar de n -pentano e um outro componente são submetidos a uma destilação flash. Sabe-se que a fração molar de n -heptano na fase gasosa está relacionada com a fração molar na fase líquida por \mathrm{y}=5 \mathrm{x}, nas condições de temperatura e pressão dentro do separador de fases.
    (a) Verifique se, com estes dados, é possível calcular as vazões de líquido e vapor resultantes desta destilação flash.
    (b) Sabendo que a composição na fase vapor de n -pentano é \mathrm{y}=0.98, calcule as vazões de vapor e líquido que saem do separador de fases.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as coisas indicadas.
  • Vazão de alimentação: F=10\\ \mathrm{kmol/h}.
  • A alimentação é equimolar entre n-pentano e o outro componente (que deduzimos ser n-heptano). Logo as frações molares na alimentação são z_{\text{pent}}=0{,}5,\qquad z_{\text{hep}}=0{,}5.
  • No separador existe uma relação de equilíbrio (nas condições do separador) para n-heptano: y_{\text{hep}}=5\,x_{\text{hep}},onde x_{\text{hep}} é a fração molar de n-heptano na fase líquida e y_{\text{hep}} é a fração molar de n-heptano na fase vapor.
  • Perguntas:
    (a) Com esses dados é possível calcular unicamente as vazões de líquido L e vapor V que saem do separador?
    (b) Se for dado ainda que a fração molar de n-pentano na fase vapor é y_{\text{pent}}=0{,}98, calcular as vazões V e L.
Observação: vou usar notação binária:
x_{\text{pent}}+x_{\text{hep}}=1,\qquad y_{\text{pent}}+y_{\text{hep}}=1,
e as balanças materiais padrão:
\text{total: }F=L+V,
\text{componentes: }F z_i = L x_i + V y_i\quad\text{(para cada componente }i\text{).}

Passo 2

Montar as equações gerais e ver quantas incógnitas temos.
Variáveis incógnitas principais: L,\\ V,\\ x_{\text{hep}},\\ y_{\text{hep}} (ou equivalente usando as frações do outro componente). As equações disponíveis inicialmente são:
  1. Balanço total:
F=L+V.
  1. Balanço de componente (por exemplo, para n-heptano):
F z_{\text{hep}} = L x_{\text{hep}} + V y_{\text{hep}}.
  1. Relação de equilíbrio (dada):
y_{\text{hep}}=5\,x_{\text{hep}}.
Contagem: temos 3 equações (1 escalar total + 1 escalar de componente + 1 relação de equilíbrio) e 4 incógnitas ( L,V,x_{\text{hep}},y_{\text{hep}}). Portanto o sistema está subdeterminados em princípio: falta uma equação para determinar unicamente as quatro incógnitas. Em termos práticos, sem uma informação adicional (por exemplo, um valor de x_{\text{hep}} ou y_{\text{hep}}, ou a vazão de vapor V, ou uma condição de temperatura/pressão que fixe um ponto de equilíbrio extra), não é possível obter um único par (L,V).

Passo 3

Fazer a álgebra que mostra a família de soluções (para dar intuição).
Substituindo y_{\text{hep}}=5x_{\text{hep}} e L=F-V no balanço do heptano:
F z_{\text{hep}} = (F-V)x_{\text{hep}} + V(5x_{\text{hep}}).
Agrupando termos:
F z_{\text{hep}} = x_{\text{hep}}\bigl(F - V + 5V\bigr) = x_{\text{hep}}\bigl(F + 4V\bigr).
Isolando x_{\text{hep}}:
x_{\text{hep}}=\dfrac{F z_{\text{hep}}}{F+4V}.
Com F=10 e z_{\text{hep}}=0{,}5 obtemos
x_{\text{hep}}=\dfrac{5}{10+4V}.
Portanto para cada escolha física de V (com 0\le V\le F e respeitando limites de frações molares) há um x_{\text{hep}} correspondente. Isso confirma que existe uma família de soluções — não um único par (L,V).
Conclusão do item (a): com os dados fornecidos inicialmente não é possível calcular unicamente L e V. É preciso mais uma informação (por exemplo um valor de x ou de y ou similar).

Passo 4

Agora tratamos o item (b): foi dada a informação adicional \,y_{\text{pent}}=0{,}98. Vou usar isso para tentar resolver. Como é binário,
y_{\text{hep}}=1-y_{\text{pent}}=1-0{,}98=0{,}02.
Usando a relação de equilíbrio y_{\text{hep}}=5x_{\text{hep}}, obtenho
x_{\text{hep}}=\dfrac{y_{\text{hep}}}{5}=\dfrac{0{,}02}{5}=0{,}004.
Logo
x_{\text{pent}}=1-x_{\text{hep}}=1-0{,}004=0{,}996.

Passo 5

Aplicar o balanço de pentano (ou o total + heptano; qualquer um leva à mesma equação) para resolver V.
Balanço de pentano:
F z_{\text{pent}} = L x_{\text{pent}} + V y_{\text{pent}}.
Substituindo L=F-V, F=10, z_{\text{pent}}=0{,}5, x_{\text{pent}}=0{,}996, y_{\text{pent}}=0{,}98:
5 = (10-V)\,0{,}996 + V\,0{,}98.
Calcule passo a passo:
5 = 9{,}96 -0{,}996V +0{,}98V = 9{,}96 -0{,}016V.
Isolando V:
-4{,}96 = -0{,}016V \quad\Rightarrow\quad V = \dfrac{4{,}96}{0{,}016}=310\\ \mathrm{kmol/h}.

Passo 6

Interpretação física do resultado e checagem de consistência.
  • O valor encontrado V=310\\ \mathrm{kmol/h} é impossível, pois é muito maior que a vazão de alimentação F=10\\ \mathrm{kmol/h}. Isso sinaliza que os dados são inconsistentes: a especificação \,y_{\text{pent}}=0{,}98 não é compatível com a relação de equilíbrio y_{\text{hep}}=5x_{\text{hep}} e a alimentação equimolar, porque para retirar tanta pentano na fase vapor seria necessário vaporizar muito mais matéria do que foi alimentada.
  • Podemos mostrar uma forma mais elegante de ver o limite físico: a expressão geral que obtivemos antes permite escrever y_{\text{pent}} em função de V. De fato, usando os passos algébricos rápidos: x_{\text{hep}}=\dfrac{5}{10+4V},\quad y_{\text{hep}}=5x_{\text{hep}}=\dfrac{25}{10+4V},e assim y_{\text{pent}}=1-y_{\text{hep}}=\dfrac{4V-15}{10+4V}.Para V variando no intervalo físico 3{,}75\le V\le 10 (o limite inferior V=3{,}75 vem de exigir x_{\text{hep}}\le 0{,}2 para que y_{\text{hep}}\le 1), a expressão acima dá y_{\text{pent}} variando entre 0 e 0{,}5. Em particular o valor y_{\text{pent}}=0{,}98 está fora do alcance físico possível com os dados de equilíbrio e alimentação dados.
  • Portanto não existe uma solução física com y_{\text{pent}}=0{,}98; o cálculo direto leva a V>F, mostrando a inconsistência.

Resposta

(a) Não. Com apenas F=10\\ \mathrm{kmol/h}, alimentação equimolar e y_{\text{hep}}=5x_{\text{hep}} não se obtém unicamente L e V; falta uma equação adicional (há uma família de soluções).
(b) Não existe solução física compatível com y_{\text{pent}}=0{,}98 (o cálculo direto dá V=310\\ \mathrm{kmol/h}, maior que F=10\\ \mathrm{kmol/h}, logo inconsistente).

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