Questão 07-0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de óleo \left(c_{p, \text { óleo }}=2090 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right)ó são resfriados com 0,201 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água \left(c_{p, \text { água }}=4180 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right)á em um trocador de calor. O óleo entra a 375 K e a água entra 280 K , o coeficiente global de troca de calor é 250 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right), e área de troca térmica é de 1,65 \mathrm{~m}^{2}. Determinar as temperaturas de saída do óleo e da água para as condições especificadas se a configuração do trocador for:
c) Casco e tubo 1-4

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara para não nos perdermos):
  • Vazão mássica de óleo: \dot{m}_{\text{o}}=0{,}5\\ \mathrm{kg/s}.
  • Capacidade térmica do óleo: c_{p,\text{o}}=2090\\ \mathrm{J/(kg\cdot{}^{\circ}C)}.
  • Temperatura de entrada do óleo (quente): T_{\text{o,in}}=375\\ \mathrm{K}.
  • Vazão mássica da água: \dot{m}_{\text{w}}=0{,}201\\ \mathrm{kg/s}.
  • Capacidade térmica da água: c_{p,\text{w}}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot{}^{\circ}C)}.
  • Temperatura de entrada da água (fria): T_{\text{w,in}}=280\\ \mathrm{K}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=250\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Área de troca térmica: A=1{,}65\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Configuração: casco e tubo 1-4 (ou seja, 1 passagem no casco e 4 passagens nos tubos).
O que o problema pede: determinar as temperaturas de saída do óleo e da água, isto é T_{\text{o,out}} e T_{\text{w,out}}, para as condições dadas na configuração 1-4.

Passo 2

Primeira coisa prática: calcular as taxas de capacidade térmica (chamadas de “heat capacity rates”) de cada fluido. Essas taxas são definidas por
C=\dot{m}\,c_{p},
onde \dot{m} é a vazão mássica e c_{p} o calor específico. Elas têm unidades de \mathrm{W/K} (porque \mathrm{kg/s}\cdot\mathrm{J/(kg\cdot K)}=\mathrm{J/(s\cdot K)}=\mathrm{W/K}).
Calcular:
C_{\text{o}}=\dot{m}_{\text{o}}\,c_{p,\text{o}}=0{,}5\cdot 2090=1045\\ \mathrm{W/K}.
C_{\text{w}}=\dot{m}_{\text{w}}\,c_{p,\text{w}}=0{,}201\cdot 4180=840{,}18\\ \mathrm{W/K}.
Identificamos qual é C_{\min} e C_{\max}:
C_{\min}=C_{\text{w}}=840{,}18\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max}=C_{\text{o}}=1045\\ \mathrm{W/K}.
E a razão de capacidades:
C_{r}=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{840{,}18}{1045}\approx 0{,}803.
Comentário amigo: isso diz que a água (o fluido frio) tem menor capacidade térmica, então ela é a que limita a quantidade de calor que pode ser trocada.

Passo 3

Calcular UA (produto U\cdot A) e o número de unidades de troca térmica (NTU). Essas grandezas são usadas no método NTU-efetividade para trocadores de calor.
UA = U\cdot A = 250\cdot 1{,}65 = 412{,}5\\ \mathrm{W/K}.
O número de unidades (NTU) é definido por
\mathrm{NTU}=\frac{UA}{C_{\min}}.
Portanto
\mathrm{NTU}=\frac{412{,}5}{840{,}18}\approx 0{,}491.
Breve explicação didática: \mathrm{NTU} mede quantas “unidades de capacidade térmica” do fluido limitante o trocador consegue atravessar; quanto maior o \mathrm{NTU}, maior a possibilidade de transferência de calor (em termos de efetividade).

Passo 4

Escolher o método de cálculo da efetividade \varepsilon.
Explicação dos métodos possíveis:
  • Existe a fórmula fechada para fluxo paralelo e para fluxo contracorrente (counterflow). Para configurações reais de casco e tubo com múltiplas passagens de tubo (1-4) a situação não é perfeitamente contracorrente; precisa-se usar um fator de correção F que ajusta a diferença entre o comportamento real e o contracorrente ideal. Esse F depende de geometria e do número de passagens (e costuma ser obtido por gráficos/tabelas).
  • Se tivéssemos o gráfico de correção F para 1-4 poderíamos usá-lo; como aqui não foi fornecido um gráfico ou tabela, uma aproximação comum e razoável é usar a expressão de contracorrente (que é uma das melhores aproximações) quando o número de passagens nos tubos é múltiplo (várias passagens tendem a aproximar-se do comportamento contracorrente). Para 1-4 a aproximação contracorrente costuma ser adequada, especialmente quando \mathrm{NTU} é relativamente pequeno (como é o nosso caso).
  • Portanto adotarei a aproximação contracorrente e vou justificar numericamente depois comparando com o caso paralelo (ver passo 6) para mostrar que a diferença é pequena neste caso.
Observação empática: sei que a situação real pede F específico para 1-4, e se você tiver esse gráfico/tabela eu posso refazer com o valor exato. Por enquanto seguimos com a aproximação contracorrente para poder avançar passo a passo.

Passo 5

Apresentar a fórmula da efetividade para trocador contracorrente e explicar as variáveis.
Para trocador contracorrente a efetividade \varepsilon é dada por
\varepsilon=\frac{1-\exp\big(-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big)}{1-C_{r}\exp\big(-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big)}.
Onde:
  • \varepsilon é a fração do calor máximo possível que é efetivamente transferida.
  • \mathrm{NTU} foi calculado no passo anterior.
  • C_{r}=\dfrac{C_{\min}}{C_{\max}} é a razão de capacidades que já calculamos.
Explicando em palavras: essa fórmula vem da análise das equações diferenciais que descrevem a troca de calor entre dois fluxos em correntes opostas e relaciona a geometria/eficiência (via \mathrm{NTU}) à razão entre as capacidades térmicas.

Passo 6

Calcular \varepsilon usando a fórmula de contracorrente.
Primeiro calculemos o argumento do exponencial:
\mathrm{NTU}(1-C_{r})=0{,}491\cdot(1-0{,}803)=0{,}491\cdot 0{,}197\approx 0{,}0967.
O expoente:
\exp\big(-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big)=\exp(-0{,}0967)\approx 0{,}9078.
Agora a efetividade:
\varepsilon=\frac{1-0{,}9078}{1-0{,}803\cdot 0{,}9078} =\frac{0{,}0922}{1-0{,}7290}=\frac{0{,}0922}{0{,}2710}\approx 0{,}340.
Comparação rápida com paralelo (só para termos senso): para fluxo paralelo a efetividade seria
\varepsilon_{\text{par}}=\frac{1-\exp\big(-\mathrm{NTU}(1+C_{r})\big)}{1+C_{r}},
calculando rapidamente dá \varepsilon_{\text{par}}\approx 0{,}326. Ou seja, diferença pequena: contracorrente dá \approx 0{,}340 e paralelo \approx 0{,}326. Isso reforça que a aproximação contracorrente é razoável aqui.

Passo 7

Calcular a taxa de transferência de calor real \dot{Q} usando a expressão com efetividade:
A máxima taxa de calor possível (se o fluido de menor capacidade fosse levado até a temperatura do fluido quente de entrada) seria
\dot{Q}_{\max}=C_{\min}\big(T_{\text{o,in}}-T_{\text{w,in}}\big).
Então a taxa de calor real é
\dot{Q}=\varepsilon\,\dot{Q}_{\max}=\varepsilon\,C_{\min}\big(T_{\text{o,in}}-T_{\text{w,in}}\big).
Substituindo números:
T_{\text{o,in}}-T_{\text{w,in}}=375-280=95\\ \mathrm{K}.
\dot{Q}=0{,}340\cdot 840{,}18\cdot 95 \approx 27138\\ \mathrm{W}.
Interpretação: cerca de 27{,}1\\ \mathrm{kW} estão sendo transferidos do óleo quente para a água.

Passo 8

Determinar as temperaturas de saída usando balanço de energia simples.
Para o óleo (fluido quente):
\dot{Q}=C_{\text{o}}\big(T_{\text{o,in}}-T_{\text{o,out}}\big) \quad\Longrightarrow\quad T_{\text{o,out}}=T_{\text{o,in}}-\frac{\dot{Q}}{C_{\text{o}}}.
Substituindo:
T_{\text{o,out}}=375-\frac{27138}{1045}\approx 375-25{,}98\approx 349{,}02\\ \mathrm{K}.
Para a água (fluido frio):
\dot{Q}=C_{\text{w}}\big(T_{\text{w,out}}-T_{\text{w,in}}\big) \quad\Longrightarrow\quad T_{\text{w,out}}=T_{\text{w,in}}+\frac{\dot{Q}}{C_{\text{w}}}.
Substituindo:
T_{\text{w,out}}=280+\frac{27138}{840{,}18}\approx 280+32{,}31\approx 312{,}31\\ \mathrm{K}.
Checagem rápida (consistência): C_{\text{o}}(T_{\text{o,in}}-T_{\text{o,out}})=1045\cdot(375-349{,}02)=1045\cdot 25{,}98\approx 27138\\ \mathrm{W}, bate com \dot{Q}. Tudo consistente.

Passo 9

Comentários finais e observação importante:
  • As temperaturas de saída obtidas com a aproximação contracorrente são
    \;T_{\text{o,out}}\approx 349{,}0\\ \mathrm{K} e \;T_{\text{w,out}}\approx 312{,}3\\ \mathrm{K}.
  • Para a configuração real casco-tubo 1-4 o valor exato pode diferir ligeiramente porque existe um fator de correção geométrico F (obtido em gráficos/tabelas) que ajusta a efetividade contracorrente. No entanto, para o nosso caso (NTU pequeno e C_{r} moderado) a diferença costuma ser pequena, então os resultados acima são uma boa estimativa.
  • Se você tiver acesso ao gráfico de correção F para 1-4 eu refaço o cálculo substituindo \varepsilon_{\text{real}}=F\cdot\varepsilon_{\text{counterflow}} (ou formula equivalente) para obter a solução precisa.
Força aí — já fizemos o trabalho pesado passo a passo, agora é só conferir e, se quiser, eu calculo de novo aplicando o fator F assim que você me enviar o valor ou o gráfico.

Resposta

T_{\text{o,out}}\approx 349{,}02\\ \mathrm{K}
T_{\text{w,out}}\approx 312{,}31\\ \mathrm{K}

Exercícios relacionados