1.10.6 Mostre, por expansão da integral de superfície, que
\lim _{\int d \tau \rightarrow 0} \frac{\int_{s} d \boldsymbol{\sigma} \times \mathbf{V}}{\int d \tau}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{V}
Sugestão: Escolha o volume \int d \tau como um volume diferencial d x d y d z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao tomarmos um volume diferencial d\tau = dx\,dy\,dz em torno de um ponto, a razão entre a integral de superfície
\int_{S} d\boldsymbol{\sigma}\times \mathbf{V}
e o volume d\tau, no limite d\tau\to0, é exatamente o rotacional de \mathbf{V}:
\lim_{d\tau\to0}\frac{\displaystyle\int_{S}d\boldsymbol{\sigma}\times\mathbf{V}}{d\tau} =\nabla\times\mathbf{V}.
Vamos usar expansão de Taylor de \mathbf{V} nas faces de um paralelepípedo diferencial.

Passo 2

Considere um paralelepípedo centrado em (x_0,y_0,z_0) com arestas dx, dy, dz. As seis faces têm normais \pm\hat{\mathbf x}, \pm\hat{\mathbf y}, \pm\hat{\mathbf z}. Chamemos de S_x o par de faces com normais \pm\hat{\mathbf x}.

Passo 3

Na face em x=x_0+dx/2 temos
d\boldsymbol{\sigma}=dy\,dz\,\hat{\mathbf x},\quad \mathbf{V}\approx\mathbf{V}_0+\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial x}\frac{dx}{2},
e na face em x=x_0-dx/2
d\boldsymbol{\sigma}=dy\,dz\,(-\hat{\mathbf x}),\quad \mathbf{V}\approx\mathbf{V}_0-\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial x}\frac{dx}{2}.
Logo a contribuição total de S_x é
\int_{S_x}d\boldsymbol{\sigma}\times\mathbf{V} =dy\,dz\Bigl[\hat{\mathbf x}\times\Bigl(\mathbf{V}_0+\tfrac{\partial\mathbf{V}}{\partial x}\tfrac{dx}{2}\Bigr) - \hat{\mathbf x}\times\Bigl(\mathbf{V}_0-\tfrac{\partial\mathbf{V}}{\partial x}\tfrac{dx}{2}\Bigr)\Bigr] =dy\,dz\,dx\;\hat{\mathbf x}\times\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial x}.

Passo 4

De modo idêntico, as faces em y e em z dão
\int_{S_y}d\boldsymbol{\sigma}\times\mathbf{V} =dx\,dz\,dy\;\hat{\mathbf y}\times\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial y}, \quad \int_{S_z}d\boldsymbol{\sigma}\times\mathbf{V} =dx\,dy\,dz\;\hat{\mathbf z}\times\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial z}.
Somando as três contribuições,
\int_{S}d\boldsymbol{\sigma}\times\mathbf{V} =d\tau\bigl[\hat{\mathbf x}\times\partial_x\mathbf{V} +\hat{\mathbf y}\times\partial_y\mathbf{V} +\hat{\mathbf z}\times\partial_z\mathbf{V}\bigr] =d\tau\,(\nabla\times\mathbf{V}).

Resposta

\lim_{d\tau\to0}\frac{\displaystyle\int_{S}d\boldsymbol{\sigma}\times\mathbf{V}}{d\tau} =\nabla\times\mathbf{V}.

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