1.11.5 Por analogia com a definição integral de gradiente, divergência e rotacional da Seção 1.10, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a operação de Laplace em um escalar
,
ou seja , pode ser obtida como o fluxo de seu gradiente
por unidade de volume, no limite em que o volume tende a zero:
ou seja
Vamos usar a definição integral de divergência e o Teorema da Divergência.
Passo 2
Definição integral de divergência: para um campo vetorial
,
onde
é a superfície que envolve o volume
.
O Teorema da Divergência (ou de Gauss) afirma:
O Teorema da Divergência (ou de Gauss) afirma:
Passo 3
Escolhemos
.
Pelo Teorema da Divergência,
Pelo Teorema da Divergência,
Passo 4
Agora dividimos ambos os lados por
e tomamos o limite
. À direita, a média de
sobre
tende ao valor pontual
. À esquerda, obtemos
o fluxo de por unidade de volume:
o fluxo de