1.10.6 Mostre, por expansão da integral de superfície, que
Sugestão: Escolha o volume
como um volume diferencial
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao tomarmos um volume diferencial
em torno de um ponto, a razão entre a integral de superfície
e o volume
, no limite
, é exatamente o rotacional de
:
Vamos usar expansão de Taylor de
nas faces de um paralelepípedo diferencial.
Passo 2
Considere um paralelepípedo centrado em
com arestas
,
,
. As seis faces têm normais
,
,
. Chamemos de
o par de faces com normais
.
Passo 3
Na face em
temos
e na face em
Logo a contribuição total de
é
Passo 4
De modo idêntico, as faces em
e em
dão
Somando as três contribuições,